Через вершину C прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C проведена прямая CD, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что треугольник CBD прямоугольный.

Question

Вопрос:

Через вершину C прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C проведена прямая CD, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что треугольник CBD прямоугольный.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Допущение:** в тексте опечатка, и через вершину $C$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ проведена прямая $CD$, перпендикулярная плоскости треугольника. **Ответ: Доказано.** **Решение:** 1. Так как $CD \perp (ABC)$, то прямая $CD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $(ABC)$. Следовательно, $CD \perp AC$. 2. По условию треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $C$, значит, $AC \perp BC$. 3. Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($CD$ и $BC$) плоскости $(BCD)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $AC \perp (BCD)$. 4. Так как прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $(BCD)$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая прямую $CB$. Таким образом, $\angle BCD = 90^{\circ}$ (из условия перпендикулярности прямой к плоскости) и $\angle ACB = 90^{\circ}$. Однако для доказательства того, что $\triangle CBD$ прямоугольный, достаточно факта $CD \perp (ABC)$. 5. Поскольку $CD \perp (ABC)$, а прямая $CB$ лежит в плоскости $(ABC)$, то по определению перпендикулярности прямой и плоскости $CD \perp CB$. 6. Так как $\angle BCD = 90^{\circ}$, треугольник $CBD$ является прямоугольным.

Ответ ассистента

Другие решения