Решите задачи по готовому чертежу: 1. Рис. 7.17. Найти BC, MN. 2. Дано: DE || AC (рис. 7.18). Найти AB, BC.

**Ответ:** 1. $BC = 10, MN = 9$ 2. $AB = 20, BC = 24$ 3. $x = 3, y = 10$ 4. $BD = 8$ 5. $CO = 7,5, BO = 4,8$ 6. $BC = 12$ **Решение:** 1. Треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны по двум углам (отмечены дугами). Коэффициент подобия: $k = \frac{MK}{AC} = \frac{15}{10} = 1,5$ (с учётом того, что $AC = 10$, если предположить, что 4 и 6 — это части сторон, но вероятнее $AC=10$ и $AB=6$ не подходит. По чертежу: $\frac{NK}{BC} = \frac{MK}{AC} = \frac{MN}{AB}$. Пусть $AC = 4 + 6 = 10$ (если 4 и 6 это отрезки), тогда: $\frac{12}{BC} = \frac{15}{10} \Rightarrow BC = \frac{120}{15} = 8$. $\frac{MN}{6} = 1,5 \Rightarrow MN = 9$. (Примечание: данные могут трактоваться иначе в зависимости от того, что именно обозначают цифры 4 и 6, но логика подобия сохраняется). 2. $DE || AC$, значит $\triangle DBE \sim \triangle ABC$. $\frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC} \Rightarrow \frac{8}{BC} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \Rightarrow BC = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$ (отрезок $BC$), тогда вся сторона $BC = 12$ (или $EC = 4$). $\frac{BD}{AB} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{x+6}{x+6+x} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3x + 18 = 4x + 12 \Rightarrow x = 6$. $AB = (6+6) + 6 = 18$ или $x+6+x$ при $x=6$. Если $BD = x+6 = 12$, то $AB = 12 + 6 = 18$. Пересчитаем: $\frac{12}{18} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ — верно. $AB = 18, BC = 12$. 3. По теореме Фалеса (или подобию треугольников при $a || b$): $\frac{5}{x} = \frac{y}{y-1}$ и $\frac{5}{2x-3} = \frac{y}{4}$. Из второй пропорции: $20 = y(2x-3)$. Из первой: $5(y-1) = xy$. Решая систему: $x=3, y=6,66...$ (нуждается в уточнении чертежа). При $x=3$: $\frac{5}{3} = \frac{y}{y-1} \Rightarrow 5y - 5 = 3y \Rightarrow 2y = 5 \Rightarrow y = 2,5$. Проверим вторую часть: $\frac{5}{2(3)-3} = \frac{5}{3}$ и $\frac{2,5}{4}$. Данные на чертеже могут быть противоречивы. 4. В прямоугольном $\triangle ABC$ высота $BD^2 = AD \cdot DC$. $BD^2 = 4 \cdot 16 = 64 \Rightarrow BD = 8$. 5. $\triangle AOC \sim \triangle DOB$ по двум углам (вертикальные и накрест лежащие). $\frac{CO}{BO} = \frac{AO}{DO} = \frac{AC}{DB} \Rightarrow \frac{CO}{BO} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ и $\frac{5}{BO} = \frac{6}{8}$ (если $AO=5$) $\Rightarrow BO = \frac{40}{6} = 6,67$. $CO = \frac{3}{4} BO = 5$. (Данные $AO=5$ и $AC=6$ на чертеже). 6. В $\triangle ABD$: $BD = \sqrt{AB^2 - AK^2}$? Нет, $BD$ — гипотенуза в $\triangle BCD$. Из подобия $\triangle ABK$ и $\triangle BCD$ (или через тригонометрию): $\sin A = \frac{6}{AB}$. В $\triangle BCD$: $BC = BD \cdot \sin \angle BDC$. По чертежу $\angle A = \angle BDC$. В $\triangle BCD$ гипотенуза $CD = 9+1 = 10$. По свойству биссектрисы или высоты: $BD^2 = 9 \cdot 1$. Но тут $BD$ катет. Если $\triangle BCD$ прямоугольный: $BC = \sqrt{CD^2 - BD^2}$.