Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. S AOD = 16, S BOC = 9. Найдите площадь трапеции.

**Ответ: 49** Для решения задачи воспользуемся свойствами трапеции: 1. Треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам (углы при основаниях равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$). 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k^2$: $$\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle AOD}} = \frac{9}{16} \Rightarrow k = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$$ Значит, отношение соответствующих сторон (и высот) этих треугольников равно $3:4$. 3. Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам трапеции ($S_{\triangle ABO}$ и $S_{\triangle CDO}$), равны между собой и вычисляются по формуле: $$S_{\triangle ABO} = S_{\triangle CDO} = \sqrt{S_{\triangle BOC} \cdot S_{\triangle AOD}}$$ $$S_{\triangle ABO} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12$$ 4. Площадь всей трапеции $ABCD$ равна сумме площадей четырех треугольников: $$S_{ABCD} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle AOD} + S_{\triangle ABO} + S_{\triangle CDO}$$ $$S_{ABCD} = 9 + 16 + 12 + 12 = 49$$