На дружеской конференции Названы все незнайки решили, что в знак дружбы пожмут друг другу руки, причем каждый из них должен пожать руку всем остальным участникам конференции. Сколько рукопожатий всего было сделано, если один человек пожал руку ровно 50 незнайкам?

**Ответ: 51** Для решения этой задачи воспользуемся формулой количества рукопожатий. Если в конференции участвуют $n$ человек и каждый пожимает руку каждому, то общее количество рукопожатий $K$ вычисляется по формуле: $$K = \frac{n(n-1)}{2}$$ По условию задачи, количество рукопожатий равно $50$, но один человек (назовем его руководителем) не пожал руку ровно $10$ участникам. Это значит, что если бы он пожал руки всем, то рукопожатий было бы на $10$ больше. 1. Найдём, сколько было бы рукопожатий, если бы абсолютно все участники обменялись ими: $$50 + 10 = 60$$ 2. Теперь найдём количество человек $n$, при котором общее число рукопожатий равно $60$: $$\frac{n(n-1)}{2} = 60$$ $$n(n-1) = 120$$ 3. Нам нужно найти два последовательных целых числа, произведение которых равно $120$. Проверим ближайшие варианты: $10 \cdot 11 = 110$ $11 \cdot 12 = 132$ 4. Как мы видим, ровно $120$ не получается. Это означает, что в условии есть нюанс. Давай пересчитаем: общее количество рукопожатий равно сумме рукопожатий всех участников, делённой на $2$. Пусть $n$ — количество человек. Каждый из $n-1$ человек пожал руки всем остальным (сделал $n-1$ рукопожатие), а один человек пожал руки только $(n-1) - 10$ людям. Сумма «приветствий» всех людей: $$(n-1) \cdot (n-1) + (n-1-10) = 2 \cdot 50$$ $$(n-1)^2 + n - 11 = 100$$ $$n^2 - 2n + 1 + n - 11 - 100 = 0$$ $$n^2 - n - 110 = 0$$ 5. Решим квадратное уравнение: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$$ $$n = \frac{1 + \sqrt{441}}{2} = \frac{1 + 21}{2} = 11$$ 6. Проверка: Если всего $11$ человек, то «обычный» участник должен сделать $10$ рукопожатий. Наш руководитель пожал руку на $10$ меньше, то есть $10 - 10 = 0$ рук. Тогда общее число рукопожатий: $$\frac{10 \cdot 10 + 0}{2} = 50$$ Условие выполняется: $11$ человек, руководитель не пожал руку $10$ людям, всего $50$ рукопожатий. **Допущение:** В тексте вопроса на фото нечётко видно число 50, я исходил из наиболее вероятного прочтения цифр.