Решите неравенство (3x - 7)² ≥ (7x - 3)², уравнение 1/(x-1)² + 2/(x-1) - 3 = 0, системы уравнений и неравенств, сократите дробь.

1. Решите неравенство $(3x - 7)^2 \ge (7x - 3)^2$. **Ответ: $x \in [-1; 0,25]$** Применим формулу разности квадратов: $(3x - 7)^2 - (7x - 3)^2 \ge 0$ $((3x - 7) - (7x - 3))((3x - 7) + (7x - 3)) \ge 0$ $(-4x - 4)(10x - 10) \ge 0$ $-4(x + 1) \cdot 10(x - 1) \ge 0$ $(x + 1)(x - 1) \le 0$ 2. Решите уравнение $\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-1} - 3 = 0$. **Ответ: $x_1 = 2, x_2 = \frac{2}{3}$** Пусть $t = \frac{1}{x-1}$, тогда: $t^2 + 2t - 3 = 0$ По теореме Виета $t_1 = 1, t_2 = -3$. 1) $\frac{1}{x-1} = 1 \Rightarrow x-1 = 1 \Rightarrow x = 2$ 2) $\frac{1}{x-1} = -3 \Rightarrow x-1 = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3}$ 3. Решите систему уравнений $\begin{cases} 2x^2 + y = 4 \\ 4x^2 - y = 2 \end{cases}$. **Ответ: $(1; 2), (-1; 2)$** Сложим уравнения: $6x^2 = 6 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$ Подставим $x^2 = 1$ в первое уравнение: $2(1) + y = 4 \Rightarrow y = 2$ 4. Решите систему неравенств $\begin{cases} 4(9x+3) - 9(4x+3) > 3x \\ (x-2)(x+9) < 0 \end{cases}$. **Ответ: $x \in (-9; -5)$** Решим первое: $36x + 12 - 36x - 27 > 3x$ $-15 > 3x \Rightarrow x < -5$ Решим второе методом интервалов: $(x-2)(x+9) < 0 \Rightarrow x \in (-9; 2)$ Пересечение: $x \in (-9; -5)$ 5. Сократите дробь $\frac{18^n}{3^{2n-1} \cdot 2^{n-2}}$. **Ответ: 12** Разложим основание 18 на множители: $$\frac{(2 \cdot 3^2)^n}{3^{2n-1} \cdot 2^{n-2}} = \frac{2^n \cdot 3^{2n}}{3^{2n-1} \cdot 2^{n-2}} = 2^{n-(n-2)} \cdot 3^{2n-(2n-1)} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$$