В прямоугольном параллелепипеде в основании лежит квадрат, диагональ основания d = 5 см, а диагональ параллелепипеда d = 9 см. Вычислите высоту и площадь основания этого параллелепипеда.

10) **Ответ: высота $h=2\sqrt{11}$ см, площадь основания $S_{осн}=25$ см$^2$, площадь полной поверхности $S_{полн}=50 + 20\sqrt{11}$ см$^2$** 1. Так как в основании квадрат со стороной $a=5$ см, его диагональ $d_{осн} = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ см. 2. Площадь основания: $S_{осн} = a^2 = 5^2 = 25$ см$^2$. 3. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю параллелепипеда $D=9$ см, диагональю основания $d_{осн}$ и высотой $h$: $h^2 = D^2 - d_{осн}^2 = 9^2 - (5\sqrt{2})^2 = 81 - 50 = 31$; $h = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$ см. 4. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4 \cdot 5) \cdot 2\sqrt{11} = 40\sqrt{11}$ см$^2$. 5. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 25 + 40\sqrt{11} = 50 + 40\sqrt{11}$ см$^2$. 11) **Ответ: $S_{бок}=168$ см$^2$, $S_{полн}=248$ см$^2$** 1. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a = \frac{1}{2}(4 \cdot 8 + 4 \cdot 6) \cdot 6 = \frac{1}{2}(32 + 24) \cdot 6 = 28 \cdot 6 = 168$ см$^2$. 2. Площади оснований: $S_1 = 8^2 = 64$ см$^2$, $S_2 = 6^2 = 16$ см$^2$. 3. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + S_1 + S_2 = 168 + 64 + 16 = 248$ см$^2$. 12) **Ответ: $48 + 10\sqrt{11}$ см$^2$** 1. Треугольник $ABC$ — равнобедренный ($AB=AC=10$, $BC=8$). Высота основания $AM = \sqrt{10^2 - 4^2} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$. Площадь основания не нужна для $S_{бок}$. 2. Боковые грани $ADB$ и $ADC$ — прямоугольные треугольники (так как $AD \perp ABC$), они равны. $S_{ADB} = S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$ см$^2$. 3. Грань $BDC$ — треугольник со сторонами $BC=8$ и $DB=DC = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$. Высота грани $DK = \sqrt{136 - 4^2} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}$. $S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{30} = 8\sqrt{30}$ см$^2$. 4. $S_{бок} = 30 + 30 + 8\sqrt{30} = 60 + 8\sqrt{30}$ см$^2$. 13) **Ответ: $16\sqrt{3}$ см$^2$** 1. В правильном тетраэдре все 4 грани — равные правильные треугольники со стороной $a=4$ см. 2. Площадь одной грани: $S_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см$^2$. 3. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = 4 \cdot S_1 = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см$^2$.