Из точки, лежащей вне данной плоскости, проведены к ней две наклонные, длины проекций которых равны 9 см и 5 см. Найти длины наклонных, если разность их длин равна 2 см.

Question

Вопрос:

Из точки, лежащей вне данной плоскости, проведены к ней две наклонные, длины проекций которых равны 9 см и 5 см. Найти длины наклонных, если разность их длин равна 2 см.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 15 см и 13 см** Пусть $l_1$ и $l_2$ — длины наклонных, а $p_1 = 9$ см и $p_2 = 5$ см — их соответствующие проекции на плоскость. Пусть $h$ — перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость. По теореме Пифагора для двух прямоугольных треугольников: 1) $l_1^2 = h^2 + p_1^2 \Rightarrow h^2 = l_1^2 - 9^2$ 2) $l_2^2 = h^2 + p_2^2 \Rightarrow h^2 = l_2^2 - 5^2$ Так как перпендикуляр $h$ общий, приравниваем выражения: $l_1^2 - 81 = l_2^2 - 25$ $l_1^2 - l_2^2 = 81 - 25$ $l_1^2 - l_2^2 = 56$ По условию разность длин наклонных равна 2 см. Большая наклонная та, у которой больше проекция, значит $l_1 - l_2 = 2$. Используем формулу разности квадратов: $(l_1 - l_2)(l_1 + l_2) = 56$ $2 \cdot (l_1 + l_2) = 56$ $l_1 + l_2 = 28$ Решим систему уравнений: $$\begin{cases} l_1 + l_2 = 28 \\ l_1 - l_2 = 2 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $2l_1 = 30 \Rightarrow l_1 = 15$ (см). Вычтем уравнения: $2l_2 = 26 \Rightarrow l_2 = 13$ (см).

Ответ ассистента

Другие решения