Решение задач по готовому чертежу. 1. Рис. 7.17. Найти: BC, MN.

**1. Рис. 7.17. Найти: BC, MN.** Треугольники $ABC$ и $NMK$ подобны по двум углам (углы $A$ и $M$ равны по $90^{\circ}$, углы $C$ и $K$ отмечены как равные). Коэффициент подобия $k = \frac{MK}{AC} = \frac{15}{5} = 3$. $MN = k \cdot AB = 3 \cdot 6 = 18$. $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61}$. **Ответ: $BC = \sqrt{61}$; $MN = 18$.** **2. Рис. 7.18. Дано: $DE \parallel AC$. Найти: AB, BC.** $\triangle BDE \sim \triangle BAC$ по двум углам (общий угол $B$ и соответственные углы при параллельных прямых). $\frac{DE}{AC} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$. Следовательно, $\frac{BD}{BA} = \frac{2}{3}$ и $\frac{BE}{BC} = \frac{2}{3}$. $BA = BD + DA = (x+6) + x = 2x+6$. $\frac{x+6}{2x+6} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3x + 18 = 4x + 12 \Rightarrow x = 6$. Тогда $AB = 2 \cdot 6 + 6 = 18$. $\frac{BE}{BC} = \frac{8}{BC} = \frac{2}{3} \Rightarrow 2BC = 24 \Rightarrow BC = 12$. **Ответ: $AB = 18$; $BC = 12$.** **3. Рис. 7.19. Дано: $a \parallel b$. Найти: x, y.** По теореме о пропорциональных отрезках (теорема Фалеса): $\frac{x}{4} = \frac{5}{2x-3} \Rightarrow x(2x-3) = 20 \Rightarrow 2x^2 - 3x - 20 = 0$. $D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 169$. $x = \frac{3 + 13}{4} = 4$ (отрицательный корень не подходит). $\frac{y}{y-1} = \frac{5}{4} \Rightarrow 4y = 5y - 5 \Rightarrow y = 5$. **Ответ: $x = 4$; $y = 5$.** **4. Рис. 7.20. Найти: BD.** В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу: $BD^2 = AD \cdot DC = 4 \cdot 16 = 64$. $BD = \sqrt{64} = 8$. **Ответ: $BD = 8$.** **5. Рис. 7.21. Найти: CO, BO.** $\triangle AOC \sim \triangle DOB$ по двум углам (вертикальные углы при $O$ и накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $BD$, так как стороны относятся пропорционально: $\frac{AC}{BD} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$). $k = \frac{1}{2}$. $CO = \frac{1}{2} \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$. $BO = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6 = 12$. **Ответ: $CO = 4$; $BO = 12$.** **6. Рис. 7.22. Найти: BC.** Фигура $ABCD$ — параллелограмм (судя по чертежу и обозначениям высот). Площадь $S = AD \cdot BK = CD \cdot BE$. Пусть $CD = x$, тогда $AD = x + 3$ (так как $BC = AD$ и точка $E$ делит $CD$ на части, где одна равна 9, а $BC$ параллельна $AD$). Однако проще: $\triangle ABK \sim \triangle CBE$ (по двум углам). $\frac{BK}{BE} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{6}{9} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{AB}{BC}$. В параллелограмме $AB = CD$. Из рисунка $CD = CE + ED = 9 + 1 = 10$. Тогда $\frac{2}{3} = \frac{10}{BC} \Rightarrow 2BC = 30 \Rightarrow BC = 15$. **Ответ: $BC = 15$.**