РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВОМУ ЧЕРТЕЖУ. 1. Рис. 7.17. Найти: BC, MN.

1. **Рис. 7.17.** Треугольники подобны по двум углам (углы при основаниях равны). Коэффициент подобия $k = \frac{MN}{AC} = \frac{15}{4} = 3,75$. $BC = \frac{NK}{k} = \frac{12}{3,75} = 3,2$. $MN = 15$ (указано на чертеже). **Ответ: BC = 3,2; MN = 15.** 2. **Рис. 7.18.** Так как $DE \parallel AC$, $\triangle BDE \sim \triangle BAC$ по двум углам. $\frac{BD}{BA} = \frac{DE}{AC} \Rightarrow \frac{x+6}{x+6+x} = \frac{10}{15} \Rightarrow \frac{x+6}{2x+6} = \frac{2}{3}$ $3(x+6) = 2(2x+6) \Rightarrow 3x + 18 = 4x + 12 \Rightarrow x = 6$. $AB = 2x + 6 = 2 \cdot 6 + 6 = 18$. $BC = BE + EC = 8 + EC$. Из подобия: $\frac{BE}{BC} = \frac{10}{15} \Rightarrow \frac{8}{BC} = \frac{2}{3} \Rightarrow BC = 12$. **Ответ: AB = 18; BC = 12.** 3. **Рис. 7.19.** По теореме о пропорциональных отрезках (параллельные прямые $a$ и $b$): $\frac{x}{5} = \frac{4}{2x-3} \Rightarrow x(2x-3) = 20 \Rightarrow 2x^2 - 3x - 20 = 0$. $D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 169 = 13^2$. $x = \frac{3+13}{4} = 4$ (отрицательный корень $-2,5$ не подходит). Для $y$: $\frac{y}{y-1} = \frac{5}{4} \Rightarrow 4y = 5y - 5 \Rightarrow y = 5$. **Ответ: x = 4; y = 5.** 4. **Рис. 7.20.** В прямоугольном треугольнике высота $BD$, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое проекций катетов: $BD^2 = AD \cdot DC$. $BD^2 = 4 \cdot 16 = 64 \Rightarrow BD = 8$. **Ответ: BD = 8.** 5. **Рис. 7.21.** $\triangle AOC \sim \triangle BOD$ по двум углам (вертикальные углы при $O$ и равные углы, отмеченные на дугах). $\frac{AC}{BD} = \frac{CO}{OD} = \frac{AO}{OB} \Rightarrow \frac{5}{10} = \frac{CO}{8} = \frac{6}{BO}$. $\frac{1}{2} = \frac{CO}{8} \Rightarrow CO = 4$. $\frac{1}{2} = \frac{6}{BO} \Rightarrow BO = 12$. **Ответ: CO = 4; BO = 12.** 6. **Рис. 7.22.** $BK$ — высота параллелограмма. $BK = 6, AK = 1$. В $\triangle BCD$: $CE$ — высота к продолжению стороны (или стороне), $CE=9$. **Допущение:** На чертеже изображен параллелограмм $ABCD$, где $BK \perp AD$ и $BE \perp CD$ (или $CE \perp BD$, чертеж не совсем ясен, но обычно это высоты параллелограмма). Если это параллелограмм, то его площадь $S = AD \cdot BK = CD \cdot CE$. Пусть $AD = x, CD = BC$. Тогда $x \cdot 6 = BC \cdot 9 \Rightarrow BC = \frac{6x}{9} = \frac{2}{3}x$. Если $\triangle ABK$ прямоугольный, то $AB^2 = BK^2 + AK^2 = 6^2 + 1^2 = 37 \Rightarrow AB = \sqrt{37}$. В параллелограмме $BC = AD = x$. Тогда $AB = CD = \sqrt{37}$. $x \cdot 6 = \sqrt{37} \cdot 9 \Rightarrow x = \frac{9\sqrt{37}}{6} = 1,5\sqrt{37} \approx 9,14$. **Ответ: BC \approx 9,14.**