Прямая MA перпендикулярна плоскости ABC. Найти угол между прямой MB и плоскостью ABC (рис. 3-6).

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Так как $MA \perp (ABC)$, то точка $A$ является проекцией точки $M$ на плоскость $(ABC)$, а отрезок $AB$ — проекцией наклонной $MB$. Искомый угол — $\angle MBA$ в прямоугольном треугольнике $MAB$. **Задача 1** Дано: $MB = 10$, $AB = 5$. В $\triangle MAB$ ($\angle A = 90^\circ$): $$\cos \angle MBA = \frac{AB}{MB} = \frac{5}{10} = 0,5$$ **Ответ: 60°** **Задача 2** Дано: $MA = 5\sqrt{3}$, $AB = 5$. В $\triangle MAB$ ($\angle A = 90^\circ$): $$\text{tg} \angle MBA = \frac{MA}{AB} = \frac{5\sqrt{3}}{5} = \sqrt{3}$$ **Ответ: 60°** **Задача 3** Дано: $MA = 8$, $MB = 4\sqrt{2}$. **Допущение:** На чертеже допущена опечатка в данных или расположении букв, так как гипотенуза $MB$ не может быть меньше катета $MA$ ($4\sqrt{2} \approx 5,6 < 8$). Если предположить, что $MA$ и $MB$ перепутаны местами, и $MB=8$, $MA=4\sqrt{2}$: $$\sin \angle MBA = \frac{MA}{MB} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ **Ответ: 45° (при условии исправления данных)** **Задача 4** Дано: $MA = 4$, $AC = 4$, $AB = 6$, $\angle CAB = 120^\circ$. В $\triangle MAB$ ($\angle A = 90^\circ$): $$\text{tg} \angle MBA = \frac{MA}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$\angle MBA = \text{arctg} \left(\frac{2}{3}\right)$$ **Ответ: arctg(2/3) ≈ 33,7°**