Question

Задача №145. Через вершину A прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника. Докажите, что треугольник CBD — прямоугольный. Найдите BD, если BC = 8, DC = 6.

Accepted Answer

Ответ: $BD = 10$

Решение:

1. Доказательство:
Так как $AD \perp (ABC)$, то $AD$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, значит $AD \perp AC$.
Отрезок $AC$ является проекцией наклонной $DC$ на плоскость $(ABC)$.
По условию $	riangle ABC$ прямоугольный с прямым углом $C$, то есть $BC \perp AC$.
Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если проекция ($AC$) перпендикулярна прямой в плоскости ($BC$), то и сама наклонная ($DC$) перпендикулярна этой прямой.
Следовательно, $DC \perp BC$, а значит $	riangle CBD$ — прямоугольный с прямым углом $C$.

2. Нахождение BD:
Рассмотрим прямоугольный $	riangle CBD$ (угол $C = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$$BD^2 = DC^2 + BC^2$$
Подставим известные значения $BC = 8$ и $DC = 6$:
$$BD^2 = 6^2 + 8^2$$
$$BD^2 = 36 + 64$$
$$BD^2 = 100$$
$$BD = \sqrt{100} = 10$$

Ответ ассистента

Другие решения