1. Через вершины ABCD параллелограмма ABCD проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках A1, B1, C1, D1 соответственно. Докажем, что A1B1C1D1 тоже параллелограмм.

1. Через вершины $A, B, C, D$ параллелограмма $ABCD$ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках $A_1, B_1, C_1, D_1$ соответственно. Докажем, что $A_1B_1C_1D_1$ тоже параллелограмм. Поскольку прямые $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ параллельны и пересекают плоскость в точках $A_1, B_1, C_1, D_1$, то: * $A_1B_1$ параллельна $AB$ * $B_1C_1$ параллельна $BC$ * $C_1D_1$ параллельна $CD$ * $D_1A_1$ параллельна $DA$ Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$ и $BC \parallel DA$. Из этого следует, что $A_1B_1 \parallel C_1D_1$ и $B_1C_1 \parallel D_1A_1$. Также, если $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$ и эти прямые не лежат в одной плоскости (или лежат в одной плоскости и пересекаются параллельной плоскостью), то фигуры $AA_1B_1B$, $BB_1C_1C$, $CC_1D_1D$, $DD_1A_1A$ являются параллелограммами (в случае, если точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ лежат в одной плоскости). Из этого следует, что $A_1B_1 = AB$, $B_1C_1 = BC$, $C_1D_1 = CD$, $D_1A_1 = DA$. Поскольку $AB = CD$ и $BC = DA$ (свойства параллелограмма $ABCD$), то $A_1B_1 = C_1D_1$ и $B_1C_1 = D_1A_1$. Так как у четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ противоположные стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом. 2. Дан треугольник $ABC$, угол $A_1 = 30^{\circ}$, угол $B_1 = 40^{\circ}$. Допущение: В задании допущена ошибка в обозначениях, так как в треугольнике $ABC$ не может быть углов $A_1$ и $B_1$. Вероятно, имелись в виду углы $\angle A$ и $\angle B$ треугольника $ABC$. Предположим, что $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle B = 40^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$. Тогда: $$\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B)$$ $$\angle C = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 40^{\circ})$$ $$\angle C = 180^{\circ} - 70^{\circ}$$ $$\angle C = 110^{\circ}$$ **Ответ: $\angle C = 110^{\circ}$**