Решите систему уравнений x^2 + y^2 = 50, xy = 7.

1.1.1. Решить систему уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 50 \\ xy = 7 \end{cases}$$ Выразим $y$ из второго уравнения: $y = \frac{7}{x}$. Подставим это в первое уравнение: $$x^2 + \left(\frac{7}{x}\right)^2 = 50$$ $$x^2 + \frac{49}{x^2} = 50$$ Умножим всё на $x^2$ (при условии $x \ne 0$): $$x^4 + 49 = 50x^2$$ $$x^4 - 50x^2 + 49 = 0$$ Сделаем замену переменной $t = x^2$ (где $t \ge 0$): $$t^2 - 50t + 49 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 2500 - 196 = 2304$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$$ $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 + 48}{2} = \frac{98}{2} = 49$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 - 48}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Теперь вернемся к $x^2 = t$: Для $t_1 = 49$: $x^2 = 49 \Rightarrow x = \pm 7$. Если $x = 7$, то $y = \frac{7}{7} = 1$. Первая пара решений: $(7; 1)$. Если $x = -7$, то $y = \frac{7}{-7} = -1$. Вторая пара решений: $(-7; -1)$. Для $t_2 = 1$: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. Если $x = 1$, то $y = \frac{7}{1} = 7$. Третья пара решений: $(1; 7)$. Если $x = -1$, то $y = \frac{7}{-1} = -7$. Четвертая пара решений: $(-1; -7)$. **Ответ: $(7; 1), (-7; -1), (1; 7), (-1; -7)$** 1.1.2. Решить систему уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 37 \\ xy = 6 \end{cases}$$ Выразим $y$ из второго уравнения: $y = \frac{6}{x}$. Подставим это в первое уравнение: $$x^2 + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 37$$ $$x^2 + \frac{36}{x^2} = 37$$ Умножим всё на $x^2$ (при условии $x \ne 0$): $$x^4 + 36 = 37x^2$$ $$x^4 - 37x^2 + 36 = 0$$ Сделаем замену переменной $t = x^2$ (где $t \ge 0$): $$t^2 - 37t + 36 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 1369 - 144 = 1225$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$$ $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 + 35}{2} = \frac{72}{2} = 36$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 - 35}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Теперь вернемся к $x^2 = t$: Для $t_1 = 36$: $x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6$. Если $x = 6$, то $y = \frac{6}{6} = 1$. Первая пара решений: $(6; 1)$. Если $x = -6$, то $y = \frac{6}{-6} = -1$. Вторая пара решений: $(-6; -1)$. Для $t_2 = 1$: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. Если $x = 1$, то $y = \frac{6}{1} = 6$. Третья пара решений: $(1; 6)$. Если $x = -1$, то $y = \frac{6}{-1} = -6$. Четвертая пара решений: $(-1; -6)$. **Ответ: $(6; 1), (-6; -1), (1; 6), (-1; -6)$** 1.1.3. Решить систему уравнений: $$\begin{cases} -5x + 5y = -2 \\ -5x + 9y = 4 \end{cases}$$ Вычтем из второго уравнения первое: $$(-5x + 9y) - (-5x + 5y) = 4 - (-2)$$ $$-5x + 9y + 5x - 5y = 4 + 2$$ $$4y = 6$$ $$y = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$$ Теперь подставим значение $y$ в первое уравнение: $$-5x + 5(1.5) = -2$$ $$-5x + 7.5 = -2$$ $$-5x = -2 - 7.5$$ $$-5x = -9.5$$ $$x = \frac{-9.5}{-5} = \frac{9.5}{5} = 1.9$$ **Ответ: $(1.9; 1.5)$**