Какой треугольник не существует? Отметьте его знаком «-» в рамке около номера задания. Ответ обоснуйте. 1. В $\triangle ABC$: $AC = 12$, $AB = 18$, $BC = 24$.

Чтобы треугольник существовал, сумма длин любых двух его сторон должна быть больше длины третьей стороны. 1. В $\triangle ABC$: $AC = 12$, $AB = 18$, $BC = 24$. * $12 + 18 > 24 \Rightarrow 30 > 24$ (верно) * $12 + 24 > 18 \Rightarrow 36 > 18$ (верно) * $18 + 24 > 12 \Rightarrow 42 > 12$ (верно) Треугольник существует. 2. В $\triangle ABC$: $AC = 22$, $AB = 18$, $BC = 52$. * $22 + 18 > 52 \Rightarrow 40 > 52$ (неверно) Треугольник не существует. 3. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^\circ$, $AB = 16$, $AC = 20$, $BC = 12$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с прямым углом $C$: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. * $20^2 + 12^2 = 400 + 144 = 544$ * $AB^2 = 16^2 = 256$ Так как $544 \neq 256$, такой прямоугольный треугольник не существует. 4. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^\circ$, $AB = 13$, $AC = 5$, $BC = 12$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с прямым углом $C$: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. * $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ * $AB^2 = 13^2 = 169$ Так как $169 = 169$, такой прямоугольный треугольник существует. 5. В $\triangle ABC$: $\angle A = 25^\circ$, $AB = 14$, $AC = 8$. * Недостаточно данных для однозначного определения существования треугольника только по двум сторонам и одному углу, если угол не между этими сторонами или не прилежащий к обеим сторонам. Тем не менее, для существования треугольника, длина любой стороны должна быть меньше суммы двух других сторон. И, для угла в $25^\circ$, если известны две стороны, то третья сторона может быть вычислена по теореме косинусов. Если принять, что $AB$ и $AC$ - две стороны, а $\angle A$ - угол между ними, то: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$ $BC^2 = 14^2 + 8^2 - 2 \cdot 14 \cdot 8 \cdot \cos(25^\circ)$ $BC^2 = 196 + 64 - 224 \cdot 0.906 \approx 260 - 202.9 \approx 57.1$ $BC \approx \sqrt{57.1} \approx 7.55$ Проверим неравенства треугольника: * $8 + 7.55 > 14 \Rightarrow 15.55 > 14$ (верно) * $14 + 7.55 > 8 \Rightarrow 21.55 > 8$ (верно) * $14 + 8 > 7.55 \Rightarrow 22 > 7.55$ (верно) Треугольник существует. 6. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^\circ$, $AB = AC = BC = 10$. Прямоугольный треугольник не может быть равносторонним (все стороны равны), так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катетов. Если $AB$ - гипотенуза, а $AC$ и $BC$ - катеты, то $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Если $AC = BC = 10$, то $AB^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$, а $AB = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14$. Это не равно $10$. Если $AB = 10$, а $AC = BC = 10$, то это противоречит теореме Пифагора. Треугольник не существует. **Ответ: Треугольники не существуют в пунктах 2, 3 и 6.**