Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 3. Найдите площадь квадрата ABCD.

1. Обозначим сторону квадрата $ABCD$ как $a$. Тогда $CD = a$. 2. Точка $O$ — середина стороны $CD$, значит, $CO = OD = \frac{a}{2}$. 3. В квадрате $ABCD$ все углы прямые. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADO$. Катет $AD = a$, катет $DO = \frac{a}{2}$. 4. Расстояние от точки $O$ (центра окружности) до вершины $A$ — это радиус окружности, который равен 3. Значит, $AO = 3$. 5. По теореме Пифагора для треугольника $ADO$: $AD^2 + DO^2 = AO^2$. $$a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 3^2$$ $$a^2 + \frac{a^2}{4} = 9$$ $$\frac{4a^2 + a^2}{4} = 9$$ $$\frac{5a^2}{4} = 9$$ $$5a^2 = 36$$ $$a^2 = \frac{36}{5}$$ 6. Площадь квадрата $ABCD$ равна $S = a^2$. $$S = \frac{36}{5} = 7,2$$ **Ответ: 7,2**