1. Найдите значение выражения $3^{\log_3 7} - 7^{\log_3 3}$.
Используем свойство логарифма $a^{\log_a b} = b$.
$$3^{\log_3 7} = 7$$
Поскольку $\log_3 3 = 1$:
$$7^{\log_3 3} = 7^1 = 7$$
Тогда выражение равно:
$$7 - 7 = 0$$
**Ответ: 0**
2. Найдите значение выражения $9^{\log_3 (1+0,5+0,25+...)}$
Сначала найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $1 + 0,5 + 0,25 + ...$.
Первый член прогрессии $a_1 = 1$.
Знаменатель прогрессии $q = 0,5 / 1 = 0,5$.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{a_1}{1-q}$.
$$S = \frac{1}{1-0,5} = \frac{1}{0,5} = 2$$
Теперь подставим это значение в выражение:
$$9^{\log_3 2}$$
Преобразуем основание 9 к основанию 3: $9 = 3^2$.
$$(3^2)^{\log_3 2} = 3^{2 \cdot \log_3 2}$$
Используем свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$.
$$3^{\log_3 2^2} = 3^{\log_3 4}$$
Используем свойство логарифма $a^{\log_a b} = b$.
$$3^{\log_3 4} = 4$$
**Ответ: 4**
3. Упростите: $6^{-0,5 + \log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}} - 2^{-0,5 + \log_2 0,5}$.
Разобьем выражения на части, используя свойство $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$.
Для первой части: $6^{-0,5 + \log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}} = 6^{-0,5} \cdot 6^{\log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}}$
Мы знаем, что $a^{\log_a b} = b$ и $6^{-0,5} = \frac{1}{6^{0,5}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
Значит, $6^{-0,5} \cdot 6^{\log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Для второй части: $2^{-0,5 + \log_2 0,5} = 2^{-0,5} \cdot 2^{\log_2 0,5}$
Мы знаем, что $a^{\log_a b} = b$ и $2^{-0,5} = \frac{1}{2^{0,5}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Значит, $2^{-0,5} \cdot 2^{\log_2 0,5} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0,5 = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Теперь вычтем вторую часть из первой:
$$\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = 0$$
**Ответ: 0**
4. Упростите: $\frac{1-\lg^2 5}{2\lg\sqrt{10}-\lg 5}$.
В числителе используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$$1-\lg^2 5 = (1-\lg 5)(1+\lg 5)$$
В знаменателе используем свойство логарифма $\lg\sqrt{10} = \lg 10^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \lg 10$. Так как $\lg 10 = 1$, то $\lg\sqrt{10} = \frac{1}{2}$.
Знаменатель будет:
$$2\lg\sqrt{10}-\lg 5 = 2 \cdot \frac{1}{2} - \lg 5 = 1 - \lg 5$$
Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в выражение:
$$\frac{(1-\lg 5)(1+\lg 5)}{1-\lg 5}$$
Сократим $(1-\lg 5)$ (при условии, что $1-\lg 5 \neq 0$, то есть $\lg 5 \neq 1$, что является правдой).
$$1+\lg 5$$
**Ответ: $1+\lg 5$**
5. Вычислите: $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{18}{12}}$, если $\log_6 6 = a$.
Допущение: В условии опечатка, должно быть $\log_6 x = a$. Если $\log_6 6 = a$, то $a=1$. Используем $a=1$ в решении.
Сначала упростим выражение под корнем:
$$\sqrt{\frac{18}{12}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 6}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$$
Теперь выражение для вычисления выглядит так: $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{3}{2}}$.
Переведем основание логарифма к 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.
$$\log_{3^{-1}} \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$
Используем свойства логарифмов $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ и $\log_a b^m = m \log_a b$.
$$(-1) \cdot \frac{1}{2} \log_3 \left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{1}{2} (\log_3 3 - \log_3 2)$$
Мы знаем, что $\log_3 3 = 1$.
$$-\frac{1}{2} (1 - \log_3 2)$$
Если $\log_6 6 = a$, то $a=1$.
Это не дает нам значения $\log_3 2$. Возможно, в условии задачи была опечатка и должно было быть $\log_6 2 = a$ или другое значение, которое позволит выразить $\log_3 2$ через $a$.
Если же брать условие буквально $a=1$, то ответ будет: $$\frac{\log_6 (3/2)}{\log_6 (1/3)}$$
$$-\frac{1}{2}(1 - \log_3 2)$$
Если использовать $\log_6 6 = a$, то $a=1$.
Без дополнительной информации о $\log_3 2$ через $a$, точное численное значение найти невозможно, если $a=1$ не подразумевает каких-то преобразований.
Допустим, что имелось в виду, что нужно выразить через $a$. Но так как $a=1$ является константой, это не имеет смысла. Скорее всего, это опечатка в условии задачи.
Если предположить, что нужно найти значение, то $\log_3 2$ - это число.
Если же задача в том, чтобы вычислить $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{18}{12}}$ численно, то:
$$-\frac{1}{2} (1 - \log_3 2) \approx -\frac{1}{2} (1 - 0.6309) \approx -\frac{1}{2} (0.3691) \approx -0.18455$$
**Ответ: $-0,5(1 - \log_3 2)$ (если $a=1$ не использовался для выражения $\log_3 2$)
