162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 3 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых больше 5 см.

162. Пусть данные прямые $l_1$ и $l_2$ находятся на расстоянии 3 см друг от друга. Если точка лежит между прямыми, сумма расстояний до них равна 3 см. Так как нам нужно, чтобы сумма расстояний была больше 5 см, точка должна лежать вне полосы между прямыми. Обозначим $x$ расстояние от точки до ближайшей прямой. Тогда расстояние до второй прямой равно $x+3$. Сумма расстояний: $x + (x+3) = 2x+3$. Решим неравенство: $2x+3 > 5$, $2x > 2$, $x > 1$. Ответ: ГМТ — это часть плоскости, лежащая вне полосы, образованной двумя прямыми, параллельными данным и отстоящими от них на 1 см. 163. Рассмотрим треугольники $OCA$ и $OCB$. $\angle OCA = \angle OCB = 90^\circ$ (т.к. $OC$ — радиус, проведенный к касательной). $OC$ — общая сторона. $CA=CB$ по условию. Значит, треугольники равны по двум катетам. Следовательно, $OA = OB = 9$ см. Ответ: 9 см. 164. Треугольник $OAB$ равнобедренный, так как $OA = OB = R$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 108^\circ) / 2 = 36^\circ$. Так как $AC$ — касательная, $\angle OAC = 90^\circ$. Тогда $\angle BAC = \angle OAC - \angle OAB = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$. Ответ: 54^\circ. 165. В условии задачи, вероятно, опечатка: отрезки касательных от точки пересечения до точек касания к одной окружности должны быть равны, а $AK=2$ и $BK=6$ противоречат этому свойству.