Найдите диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

1. Найдем диагональ основания параллелепипеда. Обозначим измерения как $a = \sqrt{2}$, $b = 5$, $c = 13$. Диагональ основания $d_{осн}$ находится по теореме Пифагора: $$d_{осн} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 5^2} = \sqrt{2 + 25} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ 2. Найдем диагональ параллелепипеда $D$. Она также находится по теореме Пифагора, используя диагональ основания и высоту (третье измерение): $$D = \sqrt{d_{осн}^2 + c^2} = \sqrt{(\sqrt{27})^2 + 13^2} = \sqrt{27 + 169} = \sqrt{196} = 14$$ 3. Найдем синус угла $\alpha$ между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. Этот угол образуется диагональю параллелепипеда, ее проекцией на основание (диагональю основания) и боковым ребром. $\sin \alpha = \frac{\text{высота}}{\text{диагональ параллелепипеда}} = \frac{c}{D}$ $$\sin \alpha = \frac{13}{14}$$ **Ответ:** Диагональ параллелепипеда равна $14$. Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания равен $\frac{13}{14}$.