На рисунке AB = BC, <1 = <2. Докажите, что <ADB = <CDB.

1. На рисунке $AB = BC$, $\angle 1 = \angle 2$. Докажем, что $\angle ADB = \angle CDB$. В треугольнике $ABC$ сторона $AB = BC$, значит, он равнобедренный. Углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Также известно, что $\angle 1 = \angle 2$. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD$. У них: * $AB = BC$ (по условию) * $BD$ — общая сторона * $\angle ABD = \angle CBD$ (поскольку $\angle 1 = \angle 2$, а это части углов $B$) Таким образом, треугольники $ABD$ и $CBD$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, поэтому $\angle ADB = \angle CDB$. 2. Периметр равнобедренного треугольника равен 41 см. Боковая сторона на 3,5 см меньше основания. Найдем основание треугольника. Пусть основание треугольника равно $x$ см. Тогда боковая сторона равна $(x - 3,5)$ см. Поскольку треугольник равнобедренный, у него две боковые стороны одинаковы. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = x + (x - 3,5) + (x - 3,5)$ $41 = 3x - 7$ $41 + 7 = 3x$ $48 = 3x$ $x = 48 / 3$ $x = 16$ **Ответ: Основание треугольника равно 16 см.** 3. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена медиана $BD$. Найдем $\angle ABD$, $\angle BDC$ и $AC$, если $\angle DBC = 40^\circ$, $AD = 13$ см. В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BD$, проведенная к основанию $AC$, является также высотой и биссектрисой угла $B$. * Так как $BD$ — биссектриса, то $\angle ABD = \angle DBC = 40^\circ$. * Так как $BD$ — высота, то она перпендикулярна основанию $AC$, значит, $\angle BDC = 90^\circ$. * Так как $BD$ — медиана, она делит основание $AC$ пополам. Следовательно, $AC = 2 \times AD = 2 \times 13 = 26$ см. **Ответ: $\angle ABD = 40^\circ$, $\angle BDC = 90^\circ$, $AC = 26$ см.** 4. Найдем все углы равнобедренного треугольника, если известно, что один из них равен $106^\circ$, а сумма всех углов треугольника равна $180^\circ$. В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Случай 1: Угол при вершине равен $106^\circ$. Тогда сумма двух других углов (углов при основании) равна $180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$. Каждый из углов при основании равен $74^\circ / 2 = 37^\circ$. Углы треугольника: $106^\circ$, $37^\circ$, $37^\circ$. Случай 2: Один из углов при основании равен $106^\circ$. Тогда второй угол при основании также равен $106^\circ$. Сумма этих двух углов: $106^\circ + 106^\circ = 212^\circ$. Это больше $180^\circ$, что невозможно для углов треугольника. Значит, этот случай не подходит. **Ответ: Углы треугольника равны $106^\circ$, $37^\circ$, $37^\circ$.** 5. На рисунке $AB = BC$ и $AO = OC$, $OK$ — биссектриса треугольника $BOC$. Найдем угол $AOK$. Допущение: Точка $O$ лежит на отрезке $BD$, где $BD$ — медиана, высота и биссектриса треугольника $ABC$. Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BO$ (если $O$ на $BD$) является также биссектрисой $\angle ABC$ и высотой к $AC$. То есть $\angle BOA = 90^\circ$. Поскольку $AO = OC$, $O$ является серединой отрезка $AC$. Если $BO$ — медиана, то $O$ лежит на $AC$ и является серединой $AC$. $OK$ — биссектриса треугольника $BOC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$, $BO$ — высота к $AC$, значит $\angle BOC = 90^\circ$. Если $\angle BOC = 90^\circ$ и $OK$ — биссектриса $\angle BOC$, то $\angle BOK = \angle KOC = 90^\circ / 2 = 45^\circ$. Мы знаем, что $\angle AOB = 90^\circ$. $\\angle AOK = \angle AOB + \angle BOK = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$. **Ответ: $\angle AOK = 135^\circ$.** 6. Сколько равнобедренных треугольников можно заметить на рисунке? На рисунке изображен квадрат, в котором проведены диагонали и средние линии. Посчитаем равнобедренные треугольники. Треугольники, образованные диагоналями и сторонами квадрата: Есть 4 таких треугольника: например, верхний, нижний, левый, правый. Они все равны и равнобедренные (боковые стороны равны, это половинки диагоналей; основание — сторона квадрата). Например, $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOA$. (4 треугольника) Треугольники, образованные половинками сторон и диагоналями: Разделим квадрат на 4 маленьких квадрата средними линиями. В каждом таком квадрате диагональ делит его на два равнобедренных треугольника. Например, в верхнем левом квадрате, образованном центром квадрата и вершинами $A, M, O$, где $M$ - середина стороны $AB$, будут два равнобедренных треугольника, образованных отрезками $AO$, $OM$, $AM$. Но они не будут обязательно равнобедренными. Рассмотрим центральные точки сторон. Пусть квадрат $ABCD$, центр $O$. Средние линии пересекаются в $O$. Треугольники, образованные центром и серединами сторон: Например, $\triangle MON$, где $M, N$ — середины сторон. Их 4. Они равнобедренные и равны. $\triangle KOP$, $\triangle LOM$, $\triangle NKO$. Также есть большие треугольники, где стороны — это половины сторон квадрата, а вершины — это центр и вершины квадрата. Например, $\triangle AOM$, $\triangle BMO$, $\triangle CON$, $\triangle DOP$. Эти треугольники не обязательно равнобедренные. Рассмотрим треугольники с вершиной в центре квадрата и вершинами квадрата: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOA$. Все они равнобедренные. (4 треугольника) Рассмотрим треугольники с вершиной в центре квадрата и точками на сторонах, образованными средними линиями. Например, если средние линии пересекают стороны в точках $E, F, G, H$ (середины сторон). Тогда $\triangle EOH, \triangle FOG, \triangle EFG, \triangle EGH$. Из них $EOH, FOG$ равнобедренные. (2 треугольника) А также треугольники, образованные стороной квадрата и точками, куда приходят диагонали. Например, $\triangle AMB$ - если $M$ середина $AB$. Эти треугольники прямоугольные и не обязательно равнобедренные. На рисунке видны 8 маленьких треугольников, образованных пересечением диагоналей и средних линий. Все они являются прямоугольными. Из них равнобедренными будут только те, у которых катеты равны. Это возможно в квадрате. Давай посчитаем внимательнее: 1. 4 больших равнобедренных треугольника, образованных диагоналями и сторонами квадрата: $\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$. 2. 4 маленьких равнобедренных треугольника, образованных средними линиями и центром (например, если вершины $E, F, G, H$ — середины сторон, то $\triangle EOF, \triangle FOG, \triangle GOH, \triangle HOE$). Всего $4+4 = 8$ равнобедренных треугольников. **Ответ: 8 равнобедренных треугольников.** 7. В треугольнике $CDE$ проведена медиана $CA$, причем $CA = AE$, $\angle E = 69^\circ$. Найдем $\angle DAC$. Так как $CA = AE$, то треугольник $CAE$ равнобедренный. Углы при основании равны, значит $\angle ACE = \angle E = 69^\circ$. Сумма углов в $\triangle CAE$: $\angle CAE + \angle ACE + \angle E = 180^\circ$. $\angle CAE = 180^\circ - 69^\circ - 69^\circ = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$. $CA$ — медиана, значит $A$ — середина $DE$. То есть $DA = AE$. Но $CA = AE$ по условию. Значит $CA = AD$. Следовательно, треугольник $CAD$ также равнобедренный с основанием $CD$. В равнобедренном треугольнике $CAD$ углы при основании $CD$ равны. То есть $\angle DCA = \angle DAC$. В треугольнике $CDE$ $\angle C = \angle DCE = \angle DCA + \angle ACE$. Рассмотрим внешний угол для $\triangle CAE$ при вершине $A$: $\angle CAD$ является смежным с $\angle CAE$ только если $D, A, E$ лежат на одной прямой. Это так, так как $A$ лежит на $DE$. $\\angle CAD = 180^\circ - \angle CAE = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$. Но $\angle CAD$ — это один из углов треугольника $CAD$. Он не может быть $138^\circ$, если $CD$ — основание, а $CA=AD$. Тогда углы при основании должны быть острыми. Значит $CA$ и $AD$ — боковые стороны, а $CD$ — основание. Если $CA = AD$, то $\triangle CAD$ равнобедренный с основанием $CD$. Значит $\angle ACD = \angle ADC$. Мы нашли, что $\angle ACE = 69^\circ$. Внешний угол к $\angle E$ в $\triangle CDE$ равен $180^\circ - 69^\circ = 111^\circ$. Давай пересмотрим. Из $CA = AE$ и $\angle E = 69^\circ$, имеем $\triangle CAE$ равнобедренный. $\angle ACE = 69^\circ$. $\angle CAE = 180^\circ - 2 \times 69^\circ = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$. Так как $CA$ — медиана, то $A$ — середина $DE$. Значит $DA = AE$. По условию $CA = AE$. Отсюда следует $CA = AD = AE$. Значит, треугольник $CAD$ — равнобедренный с боковыми сторонами $CA$ и $AD$. Угол при вершине $A$ в $\triangle CAD$ равен $\angle CAD$. Углы при основании $CD$ в $\triangle CAD$ равны: $\angle ACD = \angle ADC$. В $\triangle CDE$: $\angle D + \angle C + \angle E = 180^\circ$. $\angle D = \angle ADC$. $\\angle C = \angle ACD + \angle ACE$. $\angle E = 69^\circ$. Мы знаем, что $CA = AE = AD$. Это значит, что точка $A$ является центром окружности, описанной около $\triangle CDE$, если $DE$ является диаметром. Тогда $\angle DCE = 90^\circ$. Но это не обязательно. Если $CA = AD$, то $\triangle CAD$ равнобедренный, $\angle ACD = \angle ADC$. $\angle DAC$ — это угол при вершине $A$ в $\triangle CAD$. Угол $\angle ADE$ — это то же самое, что $\angle D$ в $\triangle CDE$. В $\triangle CAE$ внешний угол при вершине $A$ (то есть $\angle DAC$) является углом при вершине равнобедренного треугольника $CAD$ (если $CA=AD$). Угол $\angle D$ в $\triangle CDE$ равен $\angle ADC$. В $\triangle CAD$, $CA = AD$. $\angle ACD = \angle ADC$. Угол $\angle CAE = 42^\circ$. Угол $\angle CAD$ и $\angle CAE$ образуют развернутый угол $\angle DAE$ если $C$ лежит между ними. Но $D, A, E$ лежат на одной прямой. Поскольку $A$ — середина $DE$, то $D, A, E$ лежат на одной прямой. $\angle CAD$ — это угол в $\triangle CAD$. $\angle E$ в $\triangle CDE$ - это $\angle CEA$. Вернемся к $CA = AD = AE$. Это означает, что точка $A$ является центром описанной окружности около треугольника $CDE$ и $DE$ является ее диаметром. Тогда $\triangle CDE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, то есть $\angle DCE = 90^\circ$. Если $\angle DCE = 90^\circ$, то $\angle ACD + \angle ACE = 90^\circ$. Мы знаем $\angle ACE = 69^\circ$. Тогда $\angle ACD = 90^\circ - 69^\circ = 21^\circ$. В равнобедренном $\triangle CAD$ ($CA = AD$) углы при основании равны: $\angle ADC = \angle ACD = 21^\circ$. Теперь найдем $\angle DAC$ в $\triangle CAD$: $\angle DAC = 180^\circ - (\angle ACD + \angle ADC) = 180^\circ - (21^\circ + 21^\circ) = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$. Проверим: $\angle D = 21^\circ$, $\angle E = 69^\circ$, $\angle DCE = 90^\circ$. Сумма: $21^\circ + 69^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Все верно. **Ответ: $\angle DAC = 138^\circ$.** 8. В треугольнике $MKP$ угол $M$ равен углу $P$, а биссектриса $PC$ делит сторону $MK$ пополам. Найдем длину $MP$, если $MC = 9,6$ см. Так как $\angle M = \angle P$, треугольник $MKP$ равнобедренный с основанием $MP$. Значит, $MK = KP$. $PC$ — биссектриса угла $P$. Значит, она делит $\angle P$ на два равных угла: $\angle MPC = \angle CPK$. $PC$ делит сторону $MK$ пополам, то есть $C$ — середина $MK$. Значит $MC = CK$. В равнобедренном треугольнике $MKP$ ($MK = KP$), если $PC$ — биссектриса и $C$ — середина $MK$, то это означает, что $PC$ является медианой. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Но $PC$ проведена к стороне $MK$. Если $PC$ — медиана, то $MC = CK$. Если $PC$ — биссектриса, то по свойству биссектрисы: $\frac{MC}{CK} = \frac{MP}{KP}$. Мы знаем, что $MC = CK$, поэтому $\frac{MC}{CK} = 1$. Значит, $\frac{MP}{KP} = 1$, что означает $MP = KP$. Мы уже знаем, что $MK = KP$ (так как $\triangle MKP$ равнобедренный с $\angle M = \angle P$). Таким образом, $MP = KP = MK$. Следовательно, треугольник $MKP$ является равносторонним. Если $\triangle MKP$ равносторонний, то все его стороны равны: $MK = KP = MP$. Мы знаем, что $C$ — середина $MK$, и $MC = 9,6$ см. Тогда $MK = 2 \times MC = 2 \times 9,6 = 19,2$ см. Поскольку $MKP$ равносторонний, $MP = MK = 19,2$ см. **Ответ: $MP = 19,2$ см.**