19. Метод координат в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Давай разберем эти темы по порядку. Это стандартный список вопросов для экзамена по математике (алгебре и геометрии). 19. **Метод координат в пространстве.** Это способ описания положения точек и тел в трехмерном пространстве с помощью трех чисел (координат $x, y, z$). 20. **Основные тригонометрические тождества и формулы двойного угла:** * $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ * $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ * $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ * $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$ 21. **Формулы приведения.** Это формулы, которые позволяют заменить тригонометрическую функцию произвольного угла $\alpha$ на функцию острого угла. Общее правило: «Лошадка» (меняем функцию на кофункцию, если угол кратен $\pi/2$ или $3\pi/2$, и оставляем ту же, если кратен $\pi$ или $2\pi$). 22. **Тригонометрические функции.** Это функции $y=\sin x, y=\cos x, y=\tan x, y=\cot x$. Их основные свойства: область определения, множество значений, периодичность (у $\sin$ и $\cos$ период $2\pi$, у $\tan$ и $\cot$ — $\pi$), четность/нечетность. 23-25. **Обратные тригонометрические функции:** * **Арксинус ($y = \arcsin x$)**: число $y \in [-\pi/2; \pi/2]$, синус которого равен $x$. * **Арккосинус ($y = \arccos x$)**: число $y \in [0; \pi]$, косинус которого равен $x$. * **Арктангенс ($y = \arctan x$)**: число $y \in (-\pi/2; \pi/2)$, тангенс которого равен $x$. 26-28. **Многогранники.** Это геометрические тела, поверхность которых состоит из конечного числа плоских многоугольников (граней). **Призма** — многогранник, у которого две грани (основания) равны и параллельны, а боковые грани — параллелограммы. **Пирамида** — многогранник, одна грань которого — многоугольник (основание), а остальные — треугольники с общей вершиной. 29. **Симметрии.** В кубе, параллелепипеде, призме и пирамиде могут быть центры симметрии (точка, относительно которой фигура переходит сама в себя) и оси симметрии. 30. **Сечение.** Это фигура, полученная при рассечении многогранника плоскостью. В сечении обычно получается многоугольник. 31. **Площади и объемы.** Для любого многогранника площадь поверхности — сумма площадей всех граней. Объем призмы $V=S_{осн} \cdot H$, объем пирамиды $V=\frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. 32. **Тела вращения.** Это тела, полученные вращением плоской фигуры вокруг оси. * **Цилиндр**: вращение прямоугольника вокруг стороны. * **Конус**: вращение прямоугольного треугольника вокруг катета. * **Шар/Сфера**: вращение полукруга/полуокружности вокруг диаметра. 33-34. **Сечения и характеристики тел вращения.** Сечения конуса и цилиндра плоскостями дают окружности, эллипсы или треугольники/прямоугольники. Объем цилиндра $V=\pi R^2 H$, конуса $V=\frac{1}{3} \pi R^2 H$, шара $V=\frac{4}{3} \pi R^3$. 35. **Производная.** Это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю. Обозначается $f'(x)$. 36. **Геометрический и механический смысл.** Геометрический: значение производной $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту касательной к графику в точке $x_0$. Механический: $f'(t)$ — это мгновенная скорость изменения функции (например, скорости движения). 37-38. **Исследование функции.** Функция возрастает, если $f'(x) > 0$, и убывает, если $f'(x) < 0$. Экстремумы (максимумы и минимумы) находятся в точках, где производная меняет знак или равна нулю.