Вычислите значение выражения $\frac{\log_7 14 - \frac{1}{3} \log_7 56}{\log_6 30 - \frac{1}{2} \log_6 150}$

Чтобы решить это выражение, нужно применить свойства логарифмов: 1. Свойство степени: $n \log_b a = \log_b a^n$ 2. Свойство частного: $\log_b a - \log_b c = \log_b \left(\frac{a}{c}\right)$ Сначала упростим числитель: $$ \log_7 14 - \frac{1}{3} \log_7 56 = \log_7 14 - \log_7 56^{\frac{1}{3}} = \log_7 14 - \log_7 \sqrt[3]{56} $$ Заметим, что $56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$. Тогда $\sqrt[3]{56} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 7} = 2 \sqrt[3]{7}$. Продолжим упрощать числитель: $$ \log_7 14 - \log_7 (2 \sqrt[3]{7}) = \log_7 \left(\frac{14}{2 \sqrt[3]{7}}\right) = \log_7 \left(\frac{7}{\sqrt[3]{7}}\right) = \log_7 \left(\frac{7}{7^{\frac{1}{3}}}\right) = \log_7 (7^{1 - \frac{1}{3}}) = \log_7 (7^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3} $$ Теперь упростим знаменатель: $$ \log_6 30 - \frac{1}{2} \log_6 150 = \log_6 30 - \log_6 150^{\frac{1}{2}} = \log_6 30 - \log_6 \sqrt{150} $$ Заметим, что $150 = 25 \cdot 6 = 5^2 \cdot 6$. Тогда $\sqrt{150} = \sqrt{5^2 \cdot 6} = 5 \sqrt{6}$. Продолжим упрощать знаменатель: $$ \log_6 30 - \log_6 (5 \sqrt{6}) = \log_6 \left(\frac{30}{5 \sqrt{6}}\right) = \log_6 \left(\frac{6}{\sqrt{6}}\right) = \log_6 \left(\frac{6}{6^{\frac{1}{2}}}\right) = \log_6 (6^{1 - \frac{1}{2}}) = \log_6 (6^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} $$ Теперь осталось разделить числитель на знаменатель: $$ \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3} $$ **Ответ:** $\frac{4}{3}$