Найдите значение выражения 1. $\frac{4^5}{64}$

1. Чтобы найти значение выражения $\frac{4^5}{64}$, сначала представь $64$ как степень числа $4$. Мы знаем, что $4^3 = 64$. Тогда наше выражение станет $\frac{4^5}{4^3}$. Теперь можно использовать правило деления степеней с одинаковым основанием: при делении степени вычитаются. $$\frac{4^5}{64} = \frac{4^5}{4^3} = 4^{5-3} = 4^2 = 16$$ **Ответ: 16** 2. Чтобы найти значение выражения $\frac{12^7}{2^5 \cdot 6^6}$, сначала разложи $12$ на множители $2$ и $6$, чтобы было удобнее работать со степенями. Мы знаем, что $12 = 2 \cdot 6$. Значит, $12^7 = (2 \cdot 6)^7 = 2^7 \cdot 6^7$. Теперь подставим это в выражение: $$\frac{12^7}{2^5 \cdot 6^6} = \frac{2^7 \cdot 6^7}{2^5 \cdot 6^6}$$ Разделим отдельно степени с основанием $2$ и степени с основанием $6$: $$\frac{2^7}{2^5} \cdot \frac{6^7}{6^6} = 2^{7-5} \cdot 6^{7-6} = 2^2 \cdot 6^1 = 4 \cdot 6 = 24$$ **Ответ: 24** 3. Чтобы найти значение выражения $\frac{8^{11} \cdot 9^{13}}{72^{11}}$, сначала разложи $72$ на множители $8$ и $9$. Мы знаем, что $72 = 8 \cdot 9$. Значит, $72^{11} = (8 \cdot 9)^{11} = 8^{11} \cdot 9^{11}$. Теперь подставим это в выражение: $$\frac{8^{11} \cdot 9^{13}}{72^{11}} = \frac{8^{11} \cdot 9^{13}}{8^{11} \cdot 9^{11}}$$ Теперь можно сократить $8^{11}$ в числителе и знаменателе, а для $9^{13}$ и $9^{11}$ используем правило деления степеней: $$\frac{9^{13}}{9^{11}} = 9^{13-11} = 9^2 = 81$$ **Ответ: 81** 4. Чтобы найти значение выражения $\frac{(5 \cdot 8)^9}{5^6 \cdot 8^9}$, сначала раскроем скобки в числителе. $(5 \cdot 8)^9 = 5^9 \cdot 8^9$. Теперь подставим это в выражение: $$\frac{5^9 \cdot 8^9}{5^6 \cdot 8^9}$$ Сократим $8^9$ в числителе и знаменателе, а для $5^9$ и $5^6$ используем правило деления степеней: $$\frac{5^9}{5^6} = 5^{9-6} = 5^3 = 125$$ **Ответ: 125** 5. Чтобы найти значение выражения $7^{-13} \cdot (7^5)^3$, сначала упростим $(7^5)^3$ с помощью правила возведения степени в степень: показатели перемножаются. $(7^5)^3 = 7^{5 \cdot 3} = 7^{15}$. Теперь наше выражение выглядит так: $7^{-13} \cdot 7^{15}$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. $$7^{-13} \cdot 7^{15} = 7^{-13+15} = 7^2 = 49$$ **Ответ: 49** 6. Чтобы найти значение выражения $\frac{(10^4)^{-6}}{10^{-27}}$, сначала упростим $(10^4)^{-6}$ с помощью правила возведения степени в степень. $(10^4)^{-6} = 10^{4 \cdot (-6)} = 10^{-24}$. Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{10^{-24}}{10^{-27}}$. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются. $$\frac{10^{-24}}{10^{-27}} = 10^{-24 - (-27)} = 10^{-24+27} = 10^3 = 1000$$ **Ответ: 1000** 7. Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{3^{-18}} \cdot \frac{1}{3^{15}}$, сначала представим дроби в виде степеней с отрицательным показателем. Если число находится в знаменателе с отрицательным показателем, его можно перенести в числитель с положительным показателем. Если число в знаменателе с положительным показателем, его можно перенести в числитель с отрицательным показателем. $\frac{1}{3^{-18}} = 3^{18}$. $\frac{1}{3^{15}} = 3^{-15}$. Теперь умножим эти степени: $$3^{18} \cdot 3^{-15} = 3^{18 + (-15)} = 3^{18-15} = 3^3 = 27$$ **Ответ: 27** 8. Чтобы найти значение выражения $\frac{6^{-8} \cdot 6^{21}}{6^{10}}$, сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием. $6^{-8} \cdot 6^{21} = 6^{-8+21} = 6^{13}$. Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{6^{13}}{6^{10}}$. Используем правило деления степеней с одинаковым основанием. $$\frac{6^{13}}{6^{10}} = 6^{13-10} = 6^3 = 216$$ **Ответ: 216**