Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, причём сторонам AC и BC соответствуют стороны A₁C₁ и B₁C₁. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если AC = 28 см, AB = 49 см, B₁C₁ = 24 см, A₁C₁ = 16 см.

1. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, значит, их стороны пропорциональны. Соответствующие стороны: $AC$ соответствует $A_1C_1$, $BC$ соответствует $B_1C_1$. Отсюда следует, что $AB$ соответствует $A_1B_1$. Используем отношение сторон: $$ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} $$ Подставляем известные значения: $$ \frac{28}{16} = \frac{BC}{24} = \frac{49}{A_1B_1} $$ Найдем коэффициент подобия $k$: $$ k = \frac{28}{16} = \frac{7}{4} = 1.75 $$ Найдем $BC$: $$ \frac{BC}{24} = \frac{7}{4} \Rightarrow BC = \frac{7 \times 24}{4} = 7 \times 6 = 42 \text{ см} $$ Найдем $A_1B_1$: $$ \frac{49}{A_1B_1} = \frac{7}{4} \Rightarrow A_1B_1 = \frac{49 \times 4}{7} = 7 \times 4 = 28 \text{ см} $$ **Ответ:** Неизвестные стороны: $BC = 42$ см, $A_1B_1 = 28$ см. 2. Отрезок $СК$ — биссектриса треугольника $ABC$. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух других сторон. В нашем случае биссектриса $CK$ делит сторону $AB$ на отрезки $AK$ и $KB$. Тогда справедливо равенство: $$ \frac{AC}{BC} = \frac{AK}{KB} $$ Подставляем известные значения: $$ \frac{45}{BC} = \frac{18}{10} $$ Упростим дробь $\frac{18}{10}$: $$ \frac{18}{10} = \frac{9}{5} $$ Теперь у нас есть уравнение: $$ \frac{45}{BC} = \frac{9}{5} $$ Для нахождения $BC$ перемножим крест-на-крест: $$ 9 \times BC = 45 \times 5 $$ $$ 9 \times BC = 225 $$ $$ BC = \frac{225}{9} $$ $$ BC = 25 \text{ см} $$ **Ответ:** Сторона $BC = 25$ см. 3. В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ отмечена точка $M$ так, что $AM : MB = 4 : 9$. Через точку $M$ проведена прямая $MK$, которая параллельна стороне $BC$ и пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Так как $MK \parallel BC$, по теореме Фалеса (или теореме о пропорциональных отрезках) треугольник $AMK$ подобен треугольнику $ABC$. Из подобия треугольников следует отношение сторон: $$ \frac{AM}{AB} = \frac{MK}{BC} $$ Дано, что $AM : MB = 4 : 9$. Это значит, что $AM = 4x$ и $MB = 9x$ для некоторого $x$. Тогда $AB = AM + MB = 4x + 9x = 13x$. Теперь найдем отношение $AM$ к $AB$: $$ \frac{AM}{AB} = \frac{4x}{13x} = \frac{4}{13} $$ Подставим это отношение и значение $BC$ в пропорцию для сторон: $$ \frac{MK}{BC} = \frac{4}{13} $$ $$ \frac{MK}{26} = \frac{4}{13} $$ Чтобы найти $MK$, умножим обе части уравнения на 26: $$ MK = \frac{4}{13} \times 26 $$ $$ MK = 4 \times \frac{26}{13} $$ $$ MK = 4 \times 2 $$ $$ MK = 8 \text{ см} $$ **Ответ:** Отрезок $MK = 8$ см.