1. Найдите произведение:
a) $$\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{11} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 11} = \frac{15}{77}$$
б) $$\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{18} = \frac{6 \cdot 5}{25 \cdot 18} = \frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 3} = \frac{1}{15}$$
в) $$2\frac{1}{10} \cdot 1\frac{1}{14} = \frac{21}{10} \cdot \frac{15}{14} = \frac{21 \cdot 15}{10 \cdot 14} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$$
г) $$3\frac{3}{5} \cdot 1\frac{1}{9} = \frac{18}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{18 \cdot 10}{5 \cdot 9} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 4$$
д) $$1\frac{3}{7} \cdot 14 = \frac{10}{7} \cdot 14 = \frac{10 \cdot 14}{7} = 10 \cdot 2 = 20$$
2. Выполните действия:
a) $$1\frac{5}{17} \cdot \left(7 - 2\frac{4}{11}\right)$$
Сначала выполним вычитание в скобках:
$$7 - 2\frac{4}{11} = 6\frac{11}{11} - 2\frac{4}{11} = (6-2) + \left(\frac{11}{11} - \frac{4}{11}\right) = 4 + \frac{7}{11} = 4\frac{7}{11}$$
Теперь выполним умножение:
$$1\frac{5}{17} \cdot 4\frac{7}{11} = \frac{22}{17} \cdot \frac{51}{11} = \frac{22 \cdot 51}{17 \cdot 11} = \frac{2 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 6$$
б) $$(4,2 : 1,2 - 1,05) \cdot 1,6$$
Сначала выполним деление:
$$4,2 : 1,2 = \frac{42}{12} = \frac{7}{2} = 3,5$$
Затем вычитание:
$$3,5 - 1,05 = 2,45$$
Теперь умножение:
$$2,45 \cdot 1,6 = 3,92$$
3. Выполните действия:
a) $$\frac{5}{7} : \frac{5}{8} = \frac{5}{7} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7}$$
б) $$\frac{5}{9} : \frac{10}{27} = \frac{5}{9} \cdot \frac{27}{10} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$$
в) $$4\frac{2}{9} : 2\frac{2}{3} = \frac{38}{9} : \frac{8}{3} = \frac{38}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{19 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{19}{12} = 1\frac{7}{12}$$
г) $$32 : \frac{8}{9} = 32 \cdot \frac{9}{8} = 4 \cdot 9 = 36$$
д) $$12 : 6 = 2$$
4. За $$\frac{5}{9}$$ кг конфет заплатили 15р. Сколько стоит 1кг этих конфет?
Чтобы найти цену 1 кг конфет, нужно общую стоимость разделить на количество килограммов:
$$15 : \frac{5}{9} = 15 \cdot \frac{9}{5} = \frac{15 \cdot 9}{5} = 3 \cdot 9 = 27$$
**Ответ: 1 кг конфет стоит 27 рублей.**
5. Решите уравнение:
a) $$y - \frac{7}{12} = 4\frac{1}{6}$$
Чтобы найти $y$, нужно прибавить $$\frac{7}{12}$$ к $4\frac{1}{6}$$.
$$y = 4\frac{1}{6} + \frac{7}{12} = 4\frac{2}{12} + \frac{7}{12} = 4\frac{9}{12} = 4\frac{3}{4}$$
**Ответ: $y = 4\frac{3}{4}$.**
б) $$(3,1x + x) : 0,8 = 2,05$$
Сначала упростим выражение в скобках:
$$3,1x + x = 4,1x$$
Теперь уравнение выглядит так:
$$4,1x : 0,8 = 2,05$$
Чтобы найти $4,1x$, нужно умножить $2,05$ на $0,8$:
$$4,1x = 2,05 \cdot 0,8$$
$$2,05 \cdot 0,8 = 1,64$$
Теперь уравнение:
$$4,1x = 1,64$$
Чтобы найти $x$, нужно разделить $1,64$ на $4,1$:
$$x = 1,64 : 4,1$$
$$1,64 : 4,1 = 16,4 : 41 = 0,4$$
**Ответ: $x = 0,4$.**
6. У Сережи и Пети всего 69 марок. У Пети марок в $1\frac{7}{8}$ раза больше, чем у Сережи. Сколько марок у каждого из мальчиков?
Пусть у Сережи $x$ марок.
Тогда у Пети в $1\frac{7}{8}$ раза больше, то есть $1\frac{7}{8}x$ марок.
Вместе у них 69 марок, значит:
$$x + 1\frac{7}{8}x = 69$$
Переведем смешанную дробь в неправильную:
$$1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8}$$
Получаем уравнение:
$$x + \frac{15}{8}x = 69$$
Приведем к общему знаменателю или представим $x$ как $$\frac{8}{8}x$$:
$$\frac{8}{8}x + \frac{15}{8}x = 69$$
$$\frac{8+15}{8}x = 69$$
$$\frac{23}{8}x = 69$$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $$\frac{8}{23}$$:
$$x = 69 \cdot \frac{8}{23}$$
$$x = \frac{69 \cdot 8}{23}$$
$$x = 3 \cdot 8$$
$$x = 24$$
Значит, у Сережи 24 марки.
Теперь найдем, сколько марок у Пети:
$$1\frac{7}{8} \cdot 24 = \frac{15}{8} \cdot 24 = 15 \cdot \frac{24}{8} = 15 \cdot 3 = 45$$
Проверим: $24 + 45 = 69$.
**Ответ: У Сережи 24 марки, у Пети 45 марок.**
