Камень брошен вертикально вверх со скоростью $v_0 = 10 \text{ м/с}$. На какой высоте $h$ кинетическая энергия камня равна его потенциальной энергии?

Дано: Начальная скорость $v_0 = 10 \text{ м/с}$ Найти: Высота $h$, при которой кинетическая энергия равна потенциальной энергии ($E_к = E_п$) Решение: По закону сохранения энергии, полная механическая энергия тела остаётся постоянной, если действуют только консервативные силы (сила тяжести). Полная энергия в начале ($E_{полн0}$) равна сумме начальной кинетической энергии и начальной потенциальной энергии (которую можно принять за 0, если отсчитывать высоту от точки броска): $$E_{полн0} = E_{к0} + E_{п0} = \frac{mv_0^2}{2} + mgh_0$$ Если $h_0 = 0$, то $E_{полн0} = \frac{mv_0^2}{2}$. На некоторой высоте $h$, полная энергия ($E_{полнh}$) равна сумме кинетической энергии ($E_к$) и потенциальной энергии ($E_п$): $$E_{полнh} = E_к + E_п = \frac{mv^2}{2} + mgh$$ По условию задачи, на этой высоте $E_к = E_п$. Тогда можно записать: $$E_{полнh} = E_п + E_п = 2E_п = 2mgh$$ Приравниваем начальную полную энергию к полной энергии на высоте $h$: $$\frac{mv_0^2}{2} = 2mgh$$ Сокращаем массу $m$ с обеих сторон уравнения: $$\frac{v_0^2}{2} = 2gh$$ Выражаем высоту $h$: $$h = \frac{v_0^2}{4g}$$ Подставляем значения. Принимаем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ (или $10 \text{ м/с}^2$ для простоты расчетов, если не указано иное. Будем использовать $9.8 \text{ м/с}^2$): $$h = \frac{(10 \text{ м/с})^2}{4 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{100}{39.2} \approx 2.55 \text{ м}$$ **Ответ:** Примерно $2.55 \text{ м}$