Вычислить интеграл: 1) $\int_1^2 \left(x + \frac{2}{x}\right) dx$

1) Сначала найдём неопределённый интеграл: $$ \int \left(x + \frac{2}{x}\right) dx = \int x dx + \int \frac{2}{x} dx = \frac{x^2}{2} + 2 \ln|x| + C $$ Теперь подставим пределы интегрирования: $$ \left[ \frac{x^2}{2} + 2 \ln|x| \right]_1^2 = \left( \frac{2^2}{2} + 2 \ln 2 \right) - \left( \frac{1^2}{2} + 2 \ln 1 \right) $$ $$ = \left( \frac{4}{2} + 2 \ln 2 \right) - \left( \frac{1}{2} + 0 \right) = 2 + 2 \ln 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + 2 \ln 2 $$ **Ответ: $\frac{3}{2} + 2 \ln 2$** 2) Для вычисления этого интеграла используем формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2x)}{2} dx $$ $$ = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2x)) dx = \frac{1}{2} \left[ x + \frac{\sin(2x)}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)}{2} \right) - \left( 0 + \frac{\sin(2 \cdot 0)}{2} \right) \right) $$ $$ = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\sin(\pi)}{2} \right) - \left( 0 + \frac{\sin(0)}{2} \right) \right) $$ Так как $\sin(\pi) = 0$ и $\sin(0) = 0$, получаем: $$ = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} $$ **Ответ: $\frac{\pi}{4}$**