Определите координаты и вычислите скалярное произведение векторов, указанных на рисунке. Вычислите угол между векторами (через косинус).

1. Определим координаты векторов: Вектор $\vec{a}$ начинается в точке $(1, 2)$ и заканчивается в точке $(4, 6)$. Его координаты: $$\vec{a} = (4-1; 6-2) = (3; 4)$$ Вектор $\vec{b}$ начинается в точке $(5, 4)$ и заканчивается в точке $(9, 2)$. Его координаты: $$\vec{b} = (9-5; 2-4) = (4; -2)$$ 2. Вычислим скалярное произведение векторов: Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$$ $$(3) \cdot (4) + (4) \cdot (-2) = 12 - 8 = 4$$ 3. Вычислим угол между векторами (через косинус): Формула для косинуса угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$ Длина вектора $$\vec{a} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ Длина вектора $$\vec{b} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла: $$\cos \alpha = \frac{4}{5 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{4}{10\sqrt{5}} = \frac{2}{5\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{25}$$ **Ответ:** 1. Координаты векторов: $\vec{a} = (3; 4)$, $\vec{b} = (4; -2)$ 2. Скалярное произведение: $4$ 3. Косинус угла между векторами: $\frac{2\sqrt{5}}{25}$