Высота ВК, проведенная к стороне AD параллелограмма ABCD, делит эту сторону на два отрезка AK = 7 см, KD = 15 см. Найдите площадь параллелограмма, если A = 45.

1) Высота $ВК$, проведенная к стороне $AD$ параллелограмма $ABCD$, делит эту сторону на два отрезка $АК = 7$ см, $KD = 15$ см. Угол $A = 45^\_\circ$. Найдем сторону $AD$: $$AD = AK + KD = 7 + 15 = 22 \text{ см}$$ В прямоугольном треугольнике $АВК$ (так как $ВК$ — высота), угол $А = 45^\_\circ$, значит, угол $АВК = 90^\_\circ - 45^\_\circ = 45^\_\circ$. Следовательно, треугольник $АВК$ равнобедренный, и $ВК = АК = 7$ см. Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле: $$S = AD \cdot BK$$ Подставим значения: $$S = 22 \cdot 7 = 154 \text{ см}^2$$ **Ответ:** $154 \text{ см}^2$ 2) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $35$, а основание равно $42$. Найдем площадь этого треугольника. Для начала найдем высоту $h$ треугольника, опущенную на основание. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, поэтому она делит основание пополам. Пусть основание $a = 42$, тогда половина основания $a/2 = 21$. Боковая сторона $b = 35$. По теореме Пифагора: $$h^2 + (a/2)^2 = b^2$$ $$h^2 + 21^2 = 35^2$$ $$h^2 + 441 = 1225$$ $$h^2 = 1225 - 441$$ $$h^2 = 784$$ $$h = \sqrt{784} = 28$$ Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$ Подставим значения: $$S = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 28$$ $$S = 21 \cdot 28$$ $$S = 588$$ **Ответ:** $588$ 3) Вычислите площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, если $BC = 13$ см, $AD = 27$ см, $CD = 10$ см, угол $D = 30^\_\circ$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. В прямоугольном треугольнике $CHD$: $$CH = CD \cdot \sin(D)$$ $$CH = 10 \cdot \sin(30^\_\circ)$$ $$CH = 10 \cdot \frac{1}{2}$$ $$CH = 5 \text{ см}$$ Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CH$$ Подставим значения: $$S = \frac{13 + 27}{2} \cdot 5$$ $$S = \frac{40}{2} \cdot 5$$ $$S = 20 \cdot 5$$ $$S = 100 \text{ см}^2$$ **Ответ:** $100 \text{ см}^2$ 4) Высота $ВН$ параллелограмма $ABCD$ делит его сторону $AD$ на отрезки $AH = 1$ и $HD = 28$. Диагональ параллелограмма $BD$ равна $53$. Найдите площадь параллелограмма. Найдем сторону $AD$: $$AD = AH + HD = 1 + 28 = 29$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. По теореме Пифагора: $$BH^2 + HD^2 = BD^2$$ $$BH^2 + 28^2 = 53^2$$ $$BH^2 + 784 = 2809$$ $$BH^2 = 2809 - 784$$ $$BH^2 = 2025$$ $$BH = \sqrt{2025} = 45$$ Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле: $$S = AD \cdot BH$$ Подставим значения: $$S = 29 \cdot 45$$ $$S = 1305$$ **Ответ:** $1305$