Найти неизвестные стороны подобных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB = 8$ см, $BC = 9$ см, $A_1B_1 = 32$ см, $A_1C_1 = 36$ см. Найти $DB$, если $CD$ - биссектриса $\angle C$ треугольника $ABC$, $AC = 16$ см, $CB = 24$ см, $AD = 12$ см.

1. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Это значит, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. Дано: $AB = 8$ см $BC = 9$ см $A_1B_1 = 32$ см $A_1C_1 = 36$ см Найдем коэффициент подобия $k$: $$k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{32}{8} = 4$$ Теперь мы можем найти неизвестные стороны $AC$ и $B_1C_1$. Найдем $AC$: $$\frac{A_1C_1}{AC} = k$$ $$AC = \frac{A_1C_1}{k} = \frac{36}{4} = 9 \text{ см}$$ Найдем $B_1C_1$: $$\frac{B_1C_1}{BC} = k$$ $$B_1C_1 = BC \cdot k = 9 \cdot 4 = 36 \text{ см}$$ **Ответ: $AC = 9$ см, $B_1C_1 = 36$ см.** 2. Данные для второго задания неполные. Для решения задачи по отрезку $CD$ - биссектрисе $\angle C$ треугольника $ABC$ с данными $AC = 16$ см, $CB = 24$ см, $AD = 12$ см, требуется найти $DB$. Используем свойство биссектрисы угла треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть: $$\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB}$$ Подставим известные значения: $$\frac{12}{DB} = \frac{16}{24}$$ Теперь решим для $DB$: $$DB = \frac{12 \cdot 24}{16}$$ $$DB = \frac{288}{16}$$ $$DB = 18 \text{ см}$$ **Ответ: $DB = 18$ см.**