Реши уравнения: (3x-5)^2 - (2x+1)^2 = 24

1. Реши уравнения: а) $$(3x-5)^2 - (2x+1)^2 = 24$$ Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ и $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$: $$(9x^2 - 30x + 25) - (4x^2 + 4x + 1) = 24$$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$9x^2 - 30x + 25 - 4x^2 - 4x - 1 = 24$$ $$5x^2 - 34x + 24 = 24$$ $$5x^2 - 34x = 0$$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$x(5x - 34) = 0$$ Значит, $x = 0$ или $5x - 34 = 0$. $$5x = 34$$ $$x = \frac{34}{5} = 6,8$$ **Ответ:** $x_1 = 0$, $x_2 = 6,8$ б) $$(2x+1)(4x^2-2x+1) = 16$$ Это формула суммы кубов $$(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$$: $$(2x)^3 + 1^3 = 16$$ $$8x^3 + 1 = 16$$ $$8x^3 = 15$$ $$x^3 = \frac{15}{8}$$ $$x = \sqrt[3]{\frac{15}{8}} = \frac{\sqrt[3]{15}}{2}$$ **Ответ:** $x = \frac{\sqrt[3]{15}}{2}$ 2. Реши квадратные уравнения: а) $$8x^2+x-75=0$$ Для решения используем формулу дискриминанта $$D = b^2 - 4ac$$ и корни уравнения $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$. В данном уравнении $a=8$, $b=1$, $c=-75$. $$D = 1^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-75) = 1 + 2400 = 2401$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$$ $$x_1 = \frac{-1 + 49}{2 \cdot 8} = \frac{48}{16} = 3$$ $$x_2 = \frac{-1 - 49}{2 \cdot 8} = \frac{-50}{16} = -\frac{25}{8} = -3,125$$ **Ответ:** $x_1 = 3$, $x_2 = -3,125$ б) $$x^2-x-1=0$$ Здесь $a=1$, $b=-1$, $c=-1$. $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$$ $$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$ **Ответ:** $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 3. Реши систему уравнений: а) $$\begin{cases} 5x - 8y = 0 \\ x - 1,6y = 1 \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $x$: $$5x = 8y$$ $$x = \frac{8}{5}y$$ $$x = 1,6y$$ Подставим это значение во второе уравнение: $$1,6y - 1,6y = 1$$ $$0 = 1$$ Получили неверное равенство, значит, система не имеет решений. **Ответ: Система не имеет решений.**