Один из углов параллелограмма равен 30°. Найдите его диагонали, если стороны равны 5 и 6.

Дано: параллелограмм ABCD со сторонами AB = 5 и AD = 6. Один из углов равен $30^\circ$. Найди длины диагоналей AC и BD. Поскольку сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$, то если \(\angle A = 30^\circ\), то \(\angle B = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). Для нахождения диагоналей используем теорему косинусов. 1. Найдем диагональ $AC$ (в треугольнике ABD): $$AC^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$$ $$AC^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(30^\circ)$$ $$AC^2 = 25 + 36 - 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$AC^2 = 61 - 30\sqrt{3}$$ $$AC = \sqrt{61 - 30\sqrt{3}}$$ 2. Найдем диагональ $BD$ (в треугольнике ABC): $$BD^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$ Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, $BC = AD = 6$. $$BD^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(150^\circ)$$ Помним, что $\cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $$BD^2 = 25 + 36 - 60 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ $$BD^2 = 61 + 30\sqrt{3}$$ $$BD = \sqrt{61 + 30\sqrt{3}}$$ **Ответ:** $AC = \sqrt{61 - 30\sqrt{3}}$ $BD = \sqrt{61 + 30\sqrt{3}}$