Решите тригонометрическое уравнение: $3 \cos x - \sin x \cos x = 1$

Question

Вопрос:

Решите тригонометрическое уравнение: $3 \cos x - \sin x \cos x = 1$

$Решите тригонометрическое уравнение: $3 \cos x - \sin x \cos x = 1$$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Допущение: Требуется решить тригонометрическое уравнение. Задание: $3 \cos x - \sin x \cos x = 1$ Перенесем 1 в левую часть: $$3 \cos x - \sin x \cos x - 1 = 0$$ Разложим $3 \cos x$ на $1 + 2 \cos x$ и вынесем $\cos x$ за скобки в членах с $\sin x \cos x$: $$1 + 2 \cos x - \cos x (\sin x + 1) = 0$$ Воспользуемся формулой двойного угла для $\cos x$: $$\cos 2x + 2 \cos x - \cos x \sin x - 1 = 0$$ Применим формулу $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$: $$2 \cos^2 x - 1 + 2 \cos x - \sin x \cos x - 1 = 0$$ $$2 \cos^2 x + 2 \cos x - \sin x \cos x - 2 = 0$$ Вынесем $2 \cos x$ за скобки из первых двух членов и $- \sin x$ из двух последних: $$2 \cos x (\cos x + 1) - \sin x (\cos x + 1) = 0$$ Вынесем общий множитель $(\cos x + 1)$: $$(\cos x + 1)(2 \cos x - \sin x) = 0$$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: 1. $\cos x + 1 = 0$ $$\cos x = -1$$ $$x = \pi + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ 2. $2 \cos x - \sin x = 0$ $$2 \cos x = \sin x$$ Разделим обе части на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Тогда $2 \cdot 0 - (\pm 1) = 0$, что невозможно. Значит, $\cos x \neq 0$): $$2 = \frac{\sin x}{\cos x}$$ $$2 = \operatorname{tg} x$$ $$x = \operatorname{arctg}(2) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** $$x = \pi + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \operatorname{arctg}(2) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Решите тригонометрическое уравнение: $3 \cos x - \sin x \cos x = 1$

Ответ ассистента

Другие решения