2. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, причём сторонам AC и BC соответствуют стороны A₁C₁ и B₁C₁. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если AC = 28 см, AB = 49 см, B₁C₁ = 24 см, A₁C₁ = 16 см.

2. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, причём сторонам $AC$ и $BC$ соответствуют стороны $A_1C_1$ и $B_1C_1$. Это значит, что отношение соответствующих сторон одинаково. Даны стороны: $AC = 28$ см $AB = 49$ см $B_1C_1 = 24$ см $A_1C_1 = 16$ см Так как $AC$ соответствует $A_1C_1$, а $BC$ соответствует $B_1C_1$, то отношение подобия можно найти как $k = \frac{AC}{A_1C_1}$. $$k = \frac{28}{16} = \frac{7}{4}$$ Теперь мы можем найти неизвестные стороны: Сторона $BC$ соответствует $B_1C_1$, значит: $$\frac{BC}{B_1C_1} = k \implies BC = k \cdot B_1C_1 = \frac{7}{4} \cdot 24 = 7 \cdot 6 = 42 \text{ см}$$ Сторона $AB$ соответствует $A_1B_1$, значит: $$\frac{AB}{A_1B_1} = k \implies A_1B_1 = \frac{AB}{k} = \frac{49}{7/4} = \frac{49 \cdot 4}{7} = 7 \cdot 4 = 28 \text{ см}$$ **Ответ:** $BC = 42$ см, $A_1B_1 = 28$ см. 3. Отрезок $CK$ — биссектриса треугольника $ABC$. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть, $\frac{AC}{AK} = \frac{BC}{BK}$. Нам дано: $AC = 45$ см $AK = 18$ см $BK = 10$ см Подставим известные значения в пропорцию: $$\frac{45}{18} = \frac{BC}{10}$$ Упростим дробь $\frac{45}{18}$: $$\frac{45}{18} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 2} = \frac{5}{2}$$ Теперь решим уравнение для $BC$: $$\frac{5}{2} = \frac{BC}{10}$$ $$BC = \frac{5 \cdot 10}{2} = \frac{50}{2} = 25 \text{ см}$$ **Ответ:** $BC = 25$ см. 4. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 4 : 9$. Через точку $M$ провели прямую, которая параллельна стороне $BC$ треугольника и пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Треугольник $AMK$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам (угол $A$ общий, и $\angle AMK = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $BC$ и секущей $AB$). Отношение сторон $AM$ к $MB$ равно $4:9$. Это значит, что $AM = 4x$ и $MB = 9x$ для некоторого $x$. Тогда вся сторона $AB = AM + MB = 4x + 9x = 13x$. Коэффициент подобия $k'$ треугольника $AMK$ к треугольнику $ABC$ равен отношению соответствующих сторон $AM$ и $AB$: $$k' = \frac{AM}{AB} = \frac{4x}{13x} = \frac{4}{13}$$ Поскольку треугольники подобны, отношение других соответствующих сторон тоже равно $k'$: $$\frac{MK}{BC} = k'$$ Мы знаем $BC = 26$ см. Найдем $MK$: $$MK = k' \cdot BC = \frac{4}{13} \cdot 26 = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}$$ **Ответ:** $MK = 8$ см. 5. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$. Нам дано: $BO = 15$ см $OD = 18$ см Основание $BC$ на 5 см меньше основания $AD$, то есть $BC = AD - 5$. Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны (по двум углам: $\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные, $\angle CBO = \angle ADO$ как накрест лежащие при параллельных $BC$ и $AD$ и секущей $BD$). Отношение соответствующих сторон этих треугольников равно коэффициенту подобия. $$\frac{BC}{AD} = \frac{BO}{OD}$$ Подставим известные значения: $$\frac{BC}{AD} = \frac{15}{18}$$ Упростим дробь $\frac{15}{18}$: $$\frac{15}{18} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 6} = \frac{5}{6}$$ Теперь у нас есть система уравнений: 1) $\frac{BC}{AD} = \frac{5}{6}$ 2) $BC = AD - 5$ Подставим второе уравнение в первое: $$\frac{AD - 5}{AD} = \frac{5}{6}$$ Умножим крест-накрест: $$6(AD - 5) = 5AD$$ $$6AD - 30 = 5AD$$ $$6AD - 5AD = 30$$ $$AD = 30 \text{ см}$$ Теперь найдем $BC$: $$BC = AD - 5 = 30 - 5 = 25 \text{ см}$$ **Ответ:** $AD = 30$ см, $BC = 25$ см.