Вычислите интеграл: 1) $$\int_{2}^{5} 4dx$$

1. $$ \int_{2}^{5} 4dx = [4x]_{2}^{5} = 4(5) - 4(2) = 20 - 8 = 12 $$ 2. $$ \int_{0}^{1} (2x^2 + 3)dx = \left[ \frac{2x^3}{3} + 3x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{2(1)^3}{3} + 3(1) \right) - \left( \frac{2(0)^3}{3} + 3(0) \right) = \frac{2}{3} + 3 = \frac{2+9}{3} = \frac{11}{3} $$ 3. $$ \int_{-\pi}^{\pi} \sin(2x)dx = \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{-\pi}^{\pi} = -\frac{1}{2}\cos(2\pi) - \left( -\frac{1}{2}\cos(-2\pi) \right) = -\frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(1) = 0 $$ 4. $$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + 3\cos 2x)dx = \left[ -\cos x + \frac{3}{2}\sin 2x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} $$ $$ = \left( -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{3}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) \right) - \left( -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{3}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) \right) $$ $$ = \left( -0 + \frac{3}{2}\sin(\pi) \right) - \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) $$ $$ = \left( 0 + 0 \right) - \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2}(1) \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{2}-3}{2} $$ 5. $$ \int_{1}^{2} \left(\frac{1}{x^3} + 2\right)dx = \int_{1}^{2} (x^{-3} + 2)dx = \left[ \frac{x^{-2}}{-2} + 2x \right]_{1}^{2} = \left[ -\frac{1}{2x^2} + 2x \right]_{1}^{2} $$ $$ = \left( -\frac{1}{2(2)^2} + 2(2) \right) - \left( -\frac{1}{2(1)^2} + 2(1) \right) = \left( -\frac{1}{8} + 4 \right) - \left( -\frac{1}{2} + 2 \right) $$ $$ = -\frac{1}{8} + 4 + \frac{1}{2} - 2 = 2 + \frac{4-1}{8} = 2 + \frac{3}{8} = \frac{19}{8} $$ 6. $$ \frac{2}{3} \int_{1}^{8} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x^5}}dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{8} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{5}{6}}}dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{8} x^{\frac{1}{2} - \frac{5}{6}}dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{8} x^{\frac{3-5}{6}}dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{8} x^{-\frac{2}{6}}dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{8} x^{-\frac{1}{3}}dx $$ $$ = \frac{2}{3} \left[ \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} \right]_{1}^{8} = \frac{2}{3} \left[ \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} \right]_{1}^{8} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \left[ x^{\frac{2}{3}} \right]_{1}^{8} = \left[ \sqrt[3]{x^2} \right]_{1}^{8} $$ $$ = \sqrt[3]{8^2} - \sqrt[3]{1^2} = \sqrt[3]{64} - \sqrt[3]{1} = 4 - 1 = 3 $$ 7. $$ \int_{2}^{7} (x+2)\sqrt{2x+4}dx $$ Заметим, что $$\sqrt{2x+4} = \sqrt{2(x+2)} = \sqrt{2}\sqrt{x+2}$$. Тогда интеграл будет: $$ \int_{2}^{7} (x+2)\sqrt{2}\sqrt{x+2}dx = \sqrt{2} \int_{2}^{7} (x+2)^{\frac{3}{2}}dx $$ Пусть $$u = x+2$$, тогда $$du = dx$$. Пределы интегрирования меняются: при $$x=2, u=2+2=4$$ при $$x=7, u=7+2=9$$ $$ = \sqrt{2} \int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}}du = \sqrt{2} \left[ \frac{u^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} \right]_{4}^{9} = \sqrt{2} \left[ \frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} \right]_{4}^{9} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{5} \left[ u^{\frac{5}{2}} \right]_{4}^{9} $$ $$ = \frac{2\sqrt{2}}{5} \left( 9^{\frac{5}{2}} - 4^{\frac{5}{2}} \right) = \frac{2\sqrt{2}}{5} \left( (\sqrt{9})^5 - (\sqrt{4})^5 \right) $$ $$ = \frac{2\sqrt{2}}{5} \left( 3^5 - 2^5 \right) = \frac{2\sqrt{2}}{5} (243 - 32) = \frac{2\sqrt{2}}{5} (211) = \frac{422\sqrt{2}}{5} $$ 8. $$ \int_{-1}^{1} (2x^2 - 5x - 7)dx = \left[ \frac{2x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - 7x \right]_{-1}^{1} $$ $$ = \left( \frac{2(1)^3}{3} - \frac{5(1)^2}{2} - 7(1) \right) - \left( \frac{2(-1)^3}{3} - \frac{5(-1)^2}{2} - 7(-1) \right) $$ $$ = \left( \frac{2}{3} - \frac{5}{2} - 7 \right) - \left( -\frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 7 \right) $$ $$ = \frac{2}{3} - \frac{5}{2} - 7 + \frac{2}{3} + \frac{5}{2} - 7 = \frac{4}{3} - 14 = \frac{4 - 42}{3} = -\frac{38}{3} $$ №3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: $y=x^2-3x+4$ и $y=4-x$. Сначала найдем точки пересечения этих функций, приравняв их друг к другу: $$ x^2-3x+4 = 4-x $$ $$ x^2-3x+x+4-4 = 0 $$ $$ x^2-2x = 0 $$ $$ x(x-2) = 0 $$ Отсюда получаем две точки пересечения: $$x_1=0$$ и $$x_2=2$$. Это будут пределы интегрирования. Затем определим, какая функция находится выше на интервале [0, 2]. Для этого возьмем любую точку из этого интервала, например $$x=1$$: Для $y=4-x$: $$y(1) = 4-1 = 3$$ Для $y=x^2-3x+4$: $$y(1) = 1^2 - 3(1) + 4 = 1 - 3 + 4 = 2$$ Так как $$3 > 2$$, функция $y=4-x$ находится выше функции $y=x^2-3x+4$ на интервале [0, 2]. Площадь фигуры (S) вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций: $$ S = \int_{0}^{2} ((4-x) - (x^2-3x+4))dx $$ $$ S = \int_{0}^{2} (4-x-x^2+3x-4)dx $$ $$ S = \int_{0}^{2} (-x^2+2x)dx $$ Теперь вычислим этот интеграл: $$ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{2} $$ $$ S = \left( -\frac{2^3}{3} + 2^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 0^2 \right) $$ $$ S = \left( -\frac{8}{3} + 4 \right) - (0) $$ $$ S = -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4}{3} $$ **Ответ:** 1. **12** 2. **$$\frac{11}{3}$$** 3. **0** 4. **$$\frac{\sqrt{2}-3}{2}$$** 5. **$$\frac{19}{8}$$** 6. **3** 7. **$$\frac{422\sqrt{2}}{5}$$** 8. **$$-\frac{38}{3}$$** **№3. Площадь фигуры: $$\frac{4}{3} $$**