Постройте график функции y = (x^2 + 6,25)(x+1) / (-1-x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

22. Постройте график функции $$y = \frac{(x^2 + 6,25)(x+1)}{-1-x}$$ Сначала упростим функцию, учитывая, что знаменатель не должен быть равен нулю. Значит, $$-1-x \neq 0$$ или $$x \neq -1$$. $$y = \frac{(x^2 + 6,25)(x+1)}{-(x+1)}$$ Так как $$x \neq -1$$, мы можем сократить $$(x+1)$$ в числителе и знаменателе: $$y = -(x^2 + 6,25)$$ при $$x \neq -1$$ $$y = -x^2 - 6,25$$ при $$x \neq -1$$ Это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $$(0; -6,25)$$. Из графика исключается точка с абсциссой $$x = -1$$. Подставим $$x = -1$$ в уравнение параболы, чтобы найти "выколотую" точку: $$y = -(-1)^2 - 6,25 = -1 - 6,25 = -7,25$$ Таким образом, график функции — это парабола $$y = -x^2 - 6,25$$ с "выколотой" точкой $$(-1; -7,25)$$. :::div .chart-container @chart-1::: Прямая $$y = kx$$ — это прямая, проходящая через начало координат $$(0;0)$$. Прямая $$y=kx$$ будет иметь с графиком ровно одну общую точку в следующих случаях: 1. Если прямая касается параболы (то есть, имеет только одну общую точку с параболой). 2. Если прямая проходит через "выколотую" точку графика $$( -1; -7,25)$$. **Случай 1: Касание параболы** Для касания параболы $$y = -x^2 - 6,25$$ прямой $$y = kx$$ приравняем их и найдём дискриминант квадратного уравнения, который должен быть равен нулю: $$kx = -x^2 - 6,25$$ $$x^2 + kx + 6,25 = 0$$ Дискриминант: $$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6,25 = k^2 - 25$$ Приравниваем дискриминант к нулю: $$k^2 - 25 = 0$$ $$k^2 = 25$$ $$k = 5$$ или $$k = -5$$ Проверим, не совпадает ли точка касания с выколотой точкой $$(-1; -7,25)$$. При $$k=5$$: $$x^2 + 5x + 6,25 = 0$$ $$(x + 2,5)^2 = 0$$ $$x = -2,5$$ Точка касания: $$(-2,5; 5 \cdot (-2,5)) = (-2,5; -12,5)$$. Эта точка не совпадает с выколотой. При $$k=-5$$: $$x^2 - 5x + 6,25 = 0$$ $$(x - 2,5)^2 = 0$$ $$x = 2,5$$ Точка касания: $$(2,5; -5 \cdot 2,5) = (2,5; -12,5)$$. Эта точка не совпадает с выколотой. Таким образом, $$k=5$$ и $$k=-5$$ — это два значения, при которых прямая касается параболы и имеет с ней ровно одну общую точку, которая не является "выколотой". **Случай 2: Прямая проходит через "выколотую" точку** Прямая $$y = kx$$ проходит через точку $$(-1; -7,25)$$. Подставим координаты этой точки в уравнение прямой: $$-7,25 = k \cdot (-1)$$ $$k = 7,25$$ При этом значении $$k=7,25$$ прямая $$y = 7,25x$$ проходит через "выколотую" точку. Других точек пересечения с параболой быть не должно. Проверим: $$x^2 + 7,25x + 6,25 = 0$$ $$D = (7,25)^2 - 4 \cdot 6,25 = 52,5625 - 25 = 27,5625$$ $$\sqrt{D} = 5,25$$ $$x_{1,2} = \frac{-7,25 \pm 5,25}{2}$$ $$x_1 = \frac{-7,25 - 5,25}{2} = \frac{-12,5}{2} = -6,25$$ $$x_2 = \frac{-7,25 + 5,25}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Мы видим, что одно из решений $$x_2 = -1$$, что соответствует "выколотой" точке. Второе решение $$x_1 = -6,25$$ соответствует другой точке пересечения. Следовательно, в этом случае прямая имеет две общие точки с параболой, но одна из них "выколота", поэтому с *графиком функции* будет ровно одна общая точка. **Ответ:** $$k = 5$$, $$k = -5$$, $$k = 7,25$$