Решите квадратные, линейные, биквадратные уравнения и уравнения методом группировки.

1. $x^2 + 2x - 15 = 0$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$ Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ **Ответ:** $x_1 = 3$, $x_2 = -5$ 2. $2x^2 - x - 3 = 0$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$ Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ **Ответ:** $x_1 = 1.5$, $x_2 = -1$ 3. $3x^2 - 22x + 7 = 0$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 484 - 84 = 400$$ Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-22) + \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{22 + 20}{6} = \frac{42}{6} = 7$$ $$x_2 = \frac{-(-22) - \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{22 - 20}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ **Ответ:** $x_1 = 7$, $x_2 = \frac{1}{3}$ 4. $3x^2 + 6x + 10 = 0$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 36 - 120 = -84$$ Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), у этого квадратного уравнения нет действительных корней. **Ответ:** Нет действительных корней 5. $(x+3)^2 - (x-3)^2 = (x-2)^2 + (x+2)^2$ Раскроем скобки: $$(x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = (x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 4x + 4)$$ Упростим обе части уравнения: $$x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 = x^2 - 4x + 4 + x^2 + 4x + 4$$ $$12x = 2x^2 + 8$$ Перенесем все члены в одну сторону: $$2x^2 - 12x + 8 = 0$$ Разделим на 2: $$x^2 - 6x + 4 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$$ Найдем корни уравнения: $$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$$ **Ответ:** $x_1 = 3 + \sqrt{5}$, $x_2 = 3 - \sqrt{5}$ 6. $5x - 0.7 = 3x + 5.1$ Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую: $$5x - 3x = 5.1 + 0.7$$ $$2x = 5.8$$ $$x = \frac{5.8}{2}$$ $$x = 2.9$$ **Ответ:** $x = 2.9$ 7. $0.8x + 4.5 = 5 - 1.2x$ Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую: $$0.8x + 1.2x = 5 - 4.5$$ $$2x = 0.5$$ $$x = \frac{0.5}{2}$$ $$x = 0.25$$ **Ответ:** $x = 0.25$ 8. $2x + 4.2 = 4x + 7.8$ Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую: $$4.2 - 7.8 = 4x - 2x$$ $$-3.6 = 2x$$ $$x = \frac{-3.6}{2}$$ $$x = -1.8$$ **Ответ:** $x = -1.8$ 9. $3x - 2.6 = 5.5x - 3.1$ Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую: $$-2.6 + 3.1 = 5.5x - 3x$$ $$0.5 = 2.5x$$ $$x = \frac{0.5}{2.5}$$ $$x = 0.2$$ **Ответ:** $x = 0.2$ 10. $(x-1)^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2 - 2x + 2$ Раскроем скобки: $$(x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1) = (x^2 + 4x + 4) - 2x + 2$$ Упростим обе части уравнения: $$2x^2 + 2 = x^2 + 2x + 6$$ Перенесем все члены в одну сторону: $$2x^2 - x^2 - 2x + 2 - 6 = 0$$ $$x^2 - 2x - 4 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$$ Найдем корни уравнения: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$$ **Ответ:** $x_1 = 1 + \sqrt{5}$, $x_2 = 1 - \sqrt{5}$ 11. $(2x-3)(2x+3) - 1 = 5x + (x-2)^2$ Раскроем скобки: $$(4x^2 - 9) - 1 = 5x + (x^2 - 4x + 4)$$ $$4x^2 - 10 = 5x + x^2 - 4x + 4$$ $$4x^2 - 10 = x^2 + x + 4$$ Перенесем все члены в одну сторону: $$4x^2 - x^2 - x - 10 - 4 = 0$$ $$3x^2 - x - 14 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169$$ Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 13}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 13}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$ **Ответ:** $x_1 = \frac{7}{3}$, $x_2 = -2$ 12. $y^3 - 6y = 0$ Вынесем $y$ за скобки: $$y(y^2 - 6) = 0$$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $$y = 0 \quad \text{или} \quad y^2 - 6 = 0$$ $$y^2 = 6$$ $$y = \pm \sqrt{6}$$ **Ответ:** $y_1 = 0$, $y_2 = \sqrt{6}$, $y_3 = -\sqrt{6}$ 13. $6x^4 + 3.6x^2 = 0$ Вынесем $x^2$ за скобки: $$x^2(6x^2 + 3.6) = 0$$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $$x^2 = 0 \quad \text{или} \quad 6x^2 + 3.6 = 0$$ $$x = 0 \quad \text{или} \quad 6x^2 = -3.6$$ $$x^2 = -\frac{3.6}{6}$$ $$x^2 = -0.6$$ Уравнение $x^2 = -0.6$ не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. **Ответ:** $x = 0$ 14. $9x^2 - 18x^2 - x + 2 = 0$ Упростим уравнение: $$-9x^2 - x + 2 = 0$$ Умножим на -1 для удобства: $$9x^2 + x - 2 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = 1^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 1 + 72 = 73$$ Найдем корни уравнения: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 9} = \frac{-1 \pm \sqrt{73}}{18}$$ **Ответ:** $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{73}}{18}$, $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{73}}{18}$ 15. $y^4 - y^3 - 16y^2 + 16y = 0$ Вынесем $y$ за скобки: $$y(y^3 - y^2 - 16y + 16) = 0$$ Группируем члены внутри скобок: $$y(y^2(y-1) - 16(y-1)) = 0$$ $$y(y-1)(y^2 - 16) = 0$$ Разложим $y^2 - 16$ как разность квадратов: $$y(y-1)(y-4)(y+4) = 0$$ Приравняем каждый множитель к нулю: $$y = 0$$ $$y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1$$ $$y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4$$ $$y + 4 = 0 \Rightarrow y = -4$$ **Ответ:** $y_1 = 0$, $y_2 = 1$, $y_3 = 4$, $y_4 = -4$ 16. $p^3 - p^2 = p - 1$ Перенесем все члены в одну сторону: $$p^3 - p^2 - p + 1 = 0$$ Сгруппируем члены: $$p^2(p - 1) - 1(p - 1) = 0$$ $$(p - 1)(p^2 - 1) = 0$$ Разложим $p^2 - 1$ как разность квадратов: $$(p - 1)(p - 1)(p + 1) = 0$$ $$(p - 1)^2(p + 1) = 0$$ Приравняем каждый множитель к нулю: $$p - 1 = 0 \Rightarrow p = 1$$ $$p + 1 = 0 \Rightarrow p = -1$$ **Ответ:** $p_1 = 1$, $p_2 = -1$ 17. $x^4 - x^2 = 3x^3 - 3x$ Перенесем все члены в одну сторону: $$x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0$$ Вынесем $x$ за скобки: $$x(x^3 - 3x^2 - x + 3) = 0$$ Сгруппируем члены внутри скобок: $$x(x^2(x-3) - 1(x-3)) = 0$$ $$x(x-3)(x^2 - 1) = 0$$ Разложим $x^2 - 1$ как разность квадратов: $$x(x-3)(x-1)(x+1) = 0$$ Приравняем каждый множитель к нулю: $$x = 0$$ $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$ $$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$ $$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$$ **Ответ:** $x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = 1$, $x_4 = -1$ 18. $(x^2+3)^2 - 11(x^2+3) + 28 = 0$ Введем замену $t = x^2 + 3$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 11t + 28 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9$$ Найдем корни для $t$: $$t_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 3}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$t_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Теперь вернемся к замене $t = x^2 + 3$: Случай 1: $t_1 = 7$ $$x^2 + 3 = 7$$ $$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$ Случай 2: $t_2 = 4$ $$x^2 + 3 = 4$$ $$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$ **Ответ:** $x_1 = 2$, $x_2 = -2$, $x_3 = 1$, $x_4 = -1$ 19. $(x^2-4x)^2 + 9(x^2-4x) + 20 = 0$ Введем замену $t = x^2 - 4x$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 + 9t + 20 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$$ Найдем корни для $t$: $$t_1 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$t_2 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ Теперь вернемся к замене $t = x^2 - 4x$: Случай 1: $t_1 = -4$ $$x^2 - 4x = -4$$ $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ $$(x - 2)^2 = 0$$ $$x = 2$$ Случай 2: $t_2 = -5$ $$x^2 - 4x = -5$$ $$x^2 - 4x + 5 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$$ Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), у этого квадратного уравнения нет действительных корней. **Ответ:** $x = 2$ 20. $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$ Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = x^2$, причем $t \ge 0$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 5t - 36 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$$ Найдем корни для $t$: $$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ Теперь вернемся к замене $t = x^2$: Случай 1: $t_1 = 9$ $$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$ Случай 2: $t_2 = -4$ $$x^2 = -4$$ Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. **Ответ:** $x_1 = 3$, $x_2 = -3$ 21. $y^4 - 6y^2 + 8 = 0$ Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = y^2$, причем $t \ge 0$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 6t + 8 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$$ Найдем корни для $t$: $$t_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$t_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Теперь вернемся к замене $t = y^2$: Случай 1: $t_1 = 4$ $$y^2 = 4$$ $$y = \pm 2$$ Случай 2: $t_2 = 2$ $$y^2 = 2$$ $$y = \pm \sqrt{2}$$ **Ответ:** $y_1 = 2$, $y_2 = -2$, $y_3 = \sqrt{2}$, $y_4 = -\sqrt{2}$