Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P. BP = 4, CP = 12, DP = 21. Найдите AP

1. Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P. По свойству пересекающихся хорд: $$AP \cdot PC = BP \cdot DP$$ Подставим известные значения: $$AP \cdot 12 = 4 \cdot 21$$ $$12AP = 84$$ $$AP = \frac{84}{12}$$ $$AP = 7$$ **Ответ: 7** 2. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены касательная AK и секущая ABC. По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки: $$AK^2 = AB \cdot AC$$ Подставим известные значения: $$AK^2 = 6 \cdot 54$$ $$AK^2 = 324$$ $$AK = \sqrt{324}$$ $$AK = 18$$ **Ответ: 18** 3. Луч PA касается окружности в точке A, а луч PC пересекает эту окружность в точках B и C. По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки (в данном случае из точки P): $$PA^2 = PB \cdot PC$$ Подставим известные значения: $$4^2 = PB \cdot 8$$ $$16 = 8PB$$ $$PB = \frac{16}{8}$$ $$PB = 2$$ **Ответ: 2** 4. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, BH — высота, проведенная к гипотенузе AC. По свойству высоты, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике: $$AB^2 = AH \cdot AC$$ Подставим известные значения: $$AB^2 = 6 \cdot 24$$ $$AB^2 = 144$$ $$AB = \sqrt{144}$$ $$AB = 12$$ **Ответ: 12**