1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 8 см, 4 см. Найдите сумму всех его рёбер.

1. Чтобы найти сумму всех рёбер прямоугольного параллелепипеда, нужно сложить длины всех его рёбер. У прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер: по 4 ребра каждой длины. $$(2 + 8 + 4) \times 4 = 14 \times 4 = 56 \text{ см}$$ **Ответ: 56 см** 2. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле: $$S = 2(ab + bc + ac)$$, где $a$, $b$, $c$ — это длины его рёбер. $$S = 2(4 \times 7 + 7 \times 5 + 4 \times 5) = 2(28 + 35 + 20) = 2(83) = 166 \text{ см}^2$$ **Ответ: 166 см$^2$** 3. У куба 12 одинаковых рёбер. Если одно ребро равно 5 см, то сумма длин всех рёбер будет: $$12 \times 5 = 60 \text{ см}$$ Площадь поверхности куба равна $6a^2$, где $a$ — длина ребра куба. $$S = 6 \times 5^2 = 6 \times 25 = 150 \text{ см}^2$$ **Ответ: сумма длин всех рёбер 60 см, площадь поверхности 150 см$^2$** 4. Прямоугольный параллелепипед размером 7x6x8 см разрезали на кубики с ребром 1 см. Это значит, что по длине поместится 7 кубиков, по ширине — 6 кубиков, по высоте — 8 кубиков. Всего кубиков: $$7 \times 6 \times 8 = 336$$ кубиков. Параллелепипед покрасили со всех сторон. Теперь посмотрим, сколько кубиков будет иметь окрашенные грани. a) Кубики с тремя окрашенными гранями — это угловые кубики. У любого прямоугольного параллелепипеда 8 вершин, значит, 8 угловых кубиков. **Ответ: 8 кубиков** б) Кубики с двумя окрашенными гранями — это кубики, расположенные на рёбрах, но не в вершинах. Чтобы найти их количество, нужно посчитать кубики на каждом ребре, убрать угловые кубики (по 2 с каждого ребра) и умножить на количество рёбер соответствующей длины. * Рёбра длиной 7 см: $(7 - 2) \times 4 = 5 \times 4 = 20$ кубиков * Рёбра длиной 6 см: $(6 - 2) \times 4 = 4 \times 4 = 16$ кубиков * Рёбра длиной 8 см: $(8 - 2) \times 4 = 6 \times 4 = 24$ кубика Всего кубиков с двумя окрашенными гранями: $$20 + 16 + 24 = 60$$ кубиков. **Ответ: 60 кубиков** в) Кубики с одной окрашенной гранью — это кубики, расположенные на гранях, но не на рёбрах и не в вершинах. Их можно найти, посчитав площадь каждой грани, вычитая по 2 кубика с каждой стороны грани (за счёт угловых и рёберных кубиков), и умножив на 2 (так как грани попарно одинаковые). * Грань $7 \times 6$: $(7 - 2) \times (6 - 2) \times 2 = 5 \times 4 \times 2 = 40$ кубиков * Грань $7 \times 8$: $(7 - 2) \times (8 - 2) \times 2 = 5 \times 6 \times 2 = 60$ кубиков * Грань $6 \times 8$: $(6 - 2) \times (8 - 2) \times 2 = 4 \times 6 \times 2 = 48$ кубиков Всего кубиков с одной окрашенной гранью: $$40 + 60 + 48 = 148$$ кубиков. **Ответ: 148 кубиков**