На рисунке 54 $\angle AOB = 50^\circ$, $\angle FOE = 70^\circ$. Найдите углы $\angle AOC, \angle BOD, \angle COE$ и угол между прямыми $AD$ и $FC$.

1. Угол $\angle AOB = 50^\circ$. Угол $\angle FOE = 70^\circ$. Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ являются вертикальными углами, так как они образованы пересечением прямых $AD$ и $FC$. Вертикальные углы равны. $AD$ и $FC$ — прямые линии. Угол $\angle AOC$ и $\angle AOB$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$. $\angle AOC + \angle AOB = 180^\circ$ $\angle AOC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$ Также, $\angle BOD = \angle AOC = 130^\circ$ (как вертикальные). Угол $\angle COE$ и $\angle AOF$ — вертикальные. $\angle COE = \angle AOF$ Угол $\angle AOB$ и $\angle BOF$ — смежные, их сумма $180^\circ$. $\angle BOF = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$ Угол $\angle FOE$ и $\angle BOC$ — вертикальные. $\angle BOC = \angle FOE = 70^\circ$. $\\begin{aligned} &\angle AOB = 50^\circ \\ &\angle BOC = 70^\circ \\ &\angle COD = ? \\ &\angle DOE = ? \\ &\angle EOF = 70^\circ \\ &\angle FOA = ? \end{aligned}$ Угол $\angle AOB$ и $\angle DOE$ — вертикальные. $\angle DOE = 50^\circ$. Угол $\angle BOC$ и $\angle EOF$ — вертикальные. $\angle EOF = 70^\circ$. Угол $\angle COD$ и $\angle AOF$ — вертикальные. Сумма углов, опирающихся на одну прямую ($AD$): $\angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 180^\circ$. $50^\circ + 70^\circ + \angle COD = 180^\circ$ $120^\circ + \angle COD = 180^\circ$ $\angle COD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Значит, $\angle AOF = \angle COD = 60^\circ$ (как вертикальные). **Ответ:** $\angle AOC = 130^\circ$ $\angle BOD = 130^\circ$ $\angle COE = 60^\circ$