В параллелограмме KMPT диагональ MT перпендикулярна стороне MK, KM = 13 см, MT = 5 см. Найдите площадь параллелограмма и его высоты, если MP = 14 см.

1. **Дано:** Параллелограмм $KMPT$ Диагональ $MT \perp MK$ $KM = 13$ см $MT = 5$ см $MP = 14$ см **Найти:** Площадь параллелограмма $S_{KMPT}$ Высоты параллелограмма $h_1, h_2$ :::div .chart-container @chart-1::: **Решение:** 1. Рассмотрим треугольник $KMT$. Так как $MT \perp MK$, то $\triangle KMT$ прямоугольный с прямым углом $M$. Тогда площадь этого треугольника равна: $$S_{\triangle KMT} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot MT = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 5 = \frac{65}{2} = 32.5 \text{ см}^2$$ 2. Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника, образованного диагональю: $$S_{KMPT} = 2 \cdot S_{\triangle KMT} = 2 \cdot 32.5 = 65 \text{ см}^2$$ 3. Высоты параллелограмма можно найти по формуле $S = a \cdot h$. Для стороны $KM$ высота $h_1$: $$h_1 = \frac{S_{KMPT}}{KM} = \frac{65}{13} = 5 \text{ см}$$ 4. Для стороны $MP$ (которая равна $KT$) высота $h_2$: $$h_2 = \frac{S_{KMPT}}{MP} = \frac{65}{14} \text{ см}$$ **Ответ:** $S_{KMPT} = 65 \text{ см}^2$, высоты равны $5 \text{ см}$ и $\frac{65}{14} \text{ см}$. 2. **Дано:** Параллелограмм Стороны $a = 12$ см, $b = 15$ см Угол между ними $\alpha = 30^\circ$ **Найти:** Площадь параллелограмма $S$ :::div .chart-container @chart-2::: **Решение:** Площадь параллелограмма можно найти по формуле: $$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$$ $$S = 12 \cdot 15 \cdot \sin(30^\circ)$$ Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$: $$S = 12 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = 180 \cdot \frac{1}{2} = 90 \text{ см}^2$$ **Ответ:** $S = 90 \text{ см}^2$. 3. **Дано:** Треугольник $DKMP$ Высота $MB$ делит сторону $KP$ на отрезки $KB = 6$ см и $BP = 8$ см $\angle MKP = 45^\circ$ **Найти:** Площадь треугольника $DKMP$ :::div .chart-container @chart-3::: **Решение:** 1. В $\triangle KMB$ угол $B$ прямой, так как $MB$ — высота. Угол $\angle MKP = 45^\circ$. Значит, $\triangle KMB$ прямоугольный и равнобедренный, $KB = MB = 6$ см. 2. Длина стороны $KP$ равна $KB + BP = 6 + 8 = 14$ см. 3. Площадь треугольника $DKMP$ можно найти по формуле: $$S_{DKMP} = \frac{1}{2} \cdot KP \cdot MB$$ $$S_{DKMP} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42 \text{ см}^2$$ **Ответ:** $S_{DKMP} = 42 \text{ см}^2$. 4. **Дано:** Ромб $ABCK$ Периметр ромба $P_{ABCK} = 68$ см Периметр $\triangle ABC = 50$ см Периметр $\triangle ABSK = 64$ см (вероятно, опечатка, должно быть $\triangle ABK$) **Допущение:** В задаче, вероятно, опечатка. Вместо $\triangle ABSK$ должно быть $\triangle ABK$. Также, поскольку ромб обычно обозначается 4 буквами, обозначение $ABCK$ может означать $ABCD$. Будем считать, что ромб $ABCD$ и диагонали $AC$ и $BD$. **Найти:** a) Диагонали $AC$ и $BD$ b) Площадь ромба $S_{ABCD}$ :::div .chart-container @chart-4::: **Решение:** a) Найдем диагонали $AC$ и $BD$. 1. Так как $ABCK$ — ромб, все его стороны равны. $P_{ABCK} = 4 \cdot AB$. Отсюда $AB = \frac{68}{4} = 17$ см. 2. В ромбе диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются под прямым углом и делят его на 4 равных прямоугольных треугольника, например, $\triangle AOB$, где $O$ — точка пересечения диагоналей. 3. Для $\triangle ABC$: $P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC$. Так как $AB = BC = 17$ см, то $50 = 17 + 17 + AC$. Отсюда $AC = 50 - 34 = 16$ см. 4. Для $\triangle ABK$ (или $\triangle ABD$): $P_{\triangle ABD} = AB + AD + BD$. Так как $AB = AD = 17$ см, то $64 = 17 + 17 + BD$. Отсюда $BD = 64 - 34 = 30$ см. b) Найдем площадь ромба. Площадь ромба можно найти по формуле: $$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$ $$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240 \text{ см}^2$$ **Ответ:** а) Диагонали $AC = 16 \text{ см}$, $BD = 30 \text{ см}$; б) $S_{ABCD} = 240 \text{ см}^2$.