Высота CD прямоугольного треугольника ABC делит гипотенузу AB на отрезки AD = 16 см и BD = 9 см. Докажите, что треугольник ACD подобен треугольнику CBD, и найдите высоту CD.

1. Чтобы доказать подобие треугольников $ACD$ и $CBD$, нужно рассмотреть углы: * В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$. Значит, $\angle CAB + \angle CBA = 90^\circ$. * В прямоугольном треугольнике $ACD$ ($\angle CDA = 90^\circ$) сумма острых углов равна $90^\circ$. Значит, $\angle CAD + \angle ACD = 90^\circ$. * В прямоугольном треугольнике $CBD$ ($\angle CDB = 90^\circ$) сумма острых углов равна $90^\circ$. Значит, $\angle DCB + \angle CBD = 90^\circ$. Отсюда следует, что: * $\angle CAB = \angle DCB$ (так как оба угла в сумме с $\angle CBA$ дают $90^\circ$) * $\angle CBA = \angle ACD$ (так как оба угла в сумме с $\angle CAB$ дают $90^\circ$) Треугольники $ACD$ и $CBD$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников), так как $\angle CDA = \angle CDB = 90^\circ$ и $\angle CAD = \angle DCB$. 2. Чтобы найти высоту $CD$, используем свойство высоты, проведённой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике: Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению отрезков, на которые эта высота делит гипотенузу. $CD^2 = AD \cdot BD$ $CD^2 = 16 \cdot 9$ $CD^2 = 144$ $CD = \sqrt{144}$ $CD = 12$ см **Ответ:** Высота $CD = 12$ см.