Приведите к общему знаменателю дроби: $\frac{4}{15x^2y^2}$ и $\frac{1}{10x^3y}$

1) Приведем дроби $\frac{4}{15x^2y^2}$ и $\frac{1}{10x^3y}$ к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) числовых коэффициентов $15$ и $10$. НОК($15, 10$) $= 30$. Найдем НОК переменных частей: $x^2y^2$ и $x^3y$. НОК($x^2y^2, x^3y$) $= x^3y^2$. Общий знаменатель: $30x^3y^2$. Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{30x^3y^2}{15x^2y^2} = 2x$. $\frac{4}{15x^2y^2} = \frac{4 \cdot 2x}{15x^2y^2 \cdot 2x} = \frac{8x}{30x^3y^2}$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{30x^3y^2}{10x^3y} = 3y$. $\frac{1}{10x^3y} = \frac{1 \cdot 3y}{10x^3y \cdot 3y} = \frac{3y}{30x^3y^2}$. **Ответ: $\frac{8x}{30x^3y^2}$ и $\frac{3y}{30x^3y^2}$** 2) Приведем дроби $\frac{c}{6a^4b^5}$ и $\frac{d}{9ab^2}$ к общему знаменателю. Найдем НОК числовых коэффициентов $6$ и $9$. НОК($6, 9$) $= 18$. Найдем НОК переменных частей: $a^4b^5$ и $ab^2$. НОК($a^4b^5, ab^2$) $= a^4b^5$. Общий знаменатель: $18a^4b^5$. Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{18a^4b^5}{6a^4b^5} = 3$. $\frac{c}{6a^4b^5} = \frac{c \cdot 3}{6a^4b^5 \cdot 3} = \frac{3c}{18a^4b^5}$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{18a^4b^5}{9ab^2} = 2a^3b^3$. $\frac{d}{9ab^2} = \frac{d \cdot 2a^3b^3}{9ab^2 \cdot 2a^3b^3} = \frac{2a^3b^3d}{18a^4b^5}$. **Ответ: $\frac{3c}{18a^4b^5}$ и $\frac{2a^3b^3d}{18a^4b^5}$** 3) Приведем дроби $\frac{x}{y-5}$ и $\frac{z}{y^2-25}$ к общему знаменателю. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $y^2 - 25 = (y-5)(y+5)$. Общий знаменатель: $(y-5)(y+5)$. Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{(y-5)(y+5)}{y-5} = y+5$. $\frac{x}{y-5} = \frac{x(y+5)}{(y-5)(y+5)} = \frac{xy+5x}{y^2-25}$. Вторая дробь уже имеет общий знаменатель. **Ответ: $\frac{xy+5x}{y^2-25}$ и $\frac{z}{y^2-25}$** 4) Приведем дроби $\frac{m+n}{m^2-mn}$ и $\frac{2m-3n}{m^2-n^2}$ к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители: $m^2-mn = m(m-n)$ $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$ Общий знаменатель: $m(m-n)(m+n)$. Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{m(m-n)(m+n)}{m(m-n)} = m+n$. $\frac{m+n}{m^2-mn} = \frac{(m+n)(m+n)}{m(m-n)(m+n)} = \frac{(m+n)^2}{m(m-n)(m+n)}$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{m(m-n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} = m$. $\frac{2m-3n}{m^2-n^2} = \frac{(2m-3n)m}{(m-n)(m+n)m} = \frac{m(2m-3n)}{m(m-n)(m+n)}$. **Ответ: $\frac{(m+n)^2}{m(m^2-n^2)}$ и $\frac{m(2m-3n)}{m(m^2-n^2)}$** 5) Приведем дроби $\frac{x+1}{x^2-xy}$ и $\frac{y-1}{xy-y^2}$ к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители: $x^2-xy = x(x-y)$ $xy-y^2 = y(x-y)$ Общий знаменатель: $xy(x-y)$. Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{xy(x-y)}{x(x-y)} = y$. $\frac{x+1}{x^2-xy} = \frac{(x+1)y}{x(x-y)y} = \frac{xy+y}{xy(x-y)}$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{xy(x-y)}{y(x-y)} = x$. $\frac{y-1}{xy-y^2} = \frac{(y-1)x}{y(x-y)x} = \frac{xy-x}{xy(x-y)}$. **Ответ: $\frac{xy+y}{xy(x-y)}$ и $\frac{xy-x}{xy(x-y)}$** 6) Приведем дроби $\frac{6a}{a-2b}$ и $\frac{3a}{a+b}$ к общему знаменателю. Общий знаменатель: $(a-2b)(a+b)$. Дополнительный множитель для первой дроби: $a+b$. $\frac{6a}{a-2b} = \frac{6a(a+b)}{(a-2b)(a+b)} = \frac{6a^2+6ab}{(a-2b)(a+b)}$. Дополнительный множитель для второй дроби: $a-2b$. $\frac{3a}{a+b} = \frac{3a(a-2b)}{(a+b)(a-2b)} = \frac{3a^2-6ab}{(a-2b)(a+b)}$. **Ответ: $\frac{6a^2+6ab}{(a-2b)(a+b)}$ и $\frac{3a^2-6ab}{(a-2b)(a+b)}$** 7) Приведем дроби $\frac{1+c^2}{c^2-16}$ и $\frac{c}{4-c}$ к общему знаменателю. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $c^2-16 = (c-4)(c+4)$. Заметим, что $4-c = -(c-4)$. Общий знаменатель: $(c-4)(c+4)$. Первая дробь уже имеет общий знаменатель. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{(c-4)(c+4)}{4-c} = \frac{(c-4)(c+4)}{-(c-4)} = -(c+4)$. $\frac{c}{4-c} = \frac{c \cdot (-(c+4))}{(4-c) \cdot (-(c+4))} = \frac{-c(c+4)}{-(4-c)(c+4)} = \frac{-c^2-4c}{(c-4)(c+4)} = \frac{-c^2-4c}{c^2-16}$. **Ответ: $\frac{1+c^2}{c^2-16}$ и $\frac{-c^2-4c}{c^2-16}$** 8) Приведем дроби $\frac{2m+9}{m^2+5m+25}$ и $\frac{m}{m-5}$ к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби $m^2+5m+25$ является неполным квадратом суммы и не раскладывается на множители действительных чисел (его дискриминант $5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 25 - 100 = -75 < 0$). Общий знаменатель: $(m^2+5m+25)(m-5)$. Дополнительный множитель для первой дроби: $m-5$. $\frac{2m+9}{m^2+5m+25} = \frac{(2m+9)(m-5)}{(m^2+5m+25)(m-5)} = \frac{2m^2-10m+9m-45}{(m^2+5m+25)(m-5)} = \frac{2m^2-m-45}{(m^2+5m+25)(m-5)}$. Дополнительный множитель для второй дроби: $m^2+5m+25$. $\frac{m}{m-5} = \frac{m(m^2+5m+25)}{(m-5)(m^2+5m+25)} = \frac{m^3+5m^2+25m}{(m-5)(m^2+5m+25)}$. **Ответ: $\frac{2m^2-m-45}{(m-5)(m^2+5m+25)}$ и $\frac{m^3+5m^2+25m}{(m-5)(m^2+5m+25)}$**