Вычислите выражения с обыкновенными дробями.

1. Вычислите: $\left(\frac{6}{5} - \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{2}{3}$ Сначала выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 5 и 4 — это 20. $$ \frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{24}{20} $$ $$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20} $$ Вычитаем: $$ \frac{24}{20} - \frac{15}{20} = \frac{24 - 15}{20} = \frac{9}{20} $$ Теперь умножим результат на $\frac{2}{3}$: $$ \frac{9}{20} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 2}{20 \cdot 3} $$ Сокращаем: $$ \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} = \frac{3}{10} $$ **Ответ: $\frac{3}{10}$** 2. Вычислите: $\left(\frac{6}{5} - \frac{2}{3}\right) \cdot \frac{1}{2}$ Сначала выполним вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 5 и 3 — это 15. $$ \frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{18}{15} $$ $$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} $$ Вычитаем: $$ \frac{18}{15} - \frac{10}{15} = \frac{18 - 10}{15} = \frac{8}{15} $$ Теперь умножим результат на $\frac{1}{2}$: $$ \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8 \cdot 1}{15 \cdot 2} $$ Сокращаем: $$ \frac{4 \cdot 1}{15 \cdot 1} = \frac{4}{15} $$ **Ответ: $\frac{4}{15}$** 3. Вычислите: $\frac{11}{18} - \frac{4}{9} : \frac{3}{16}$ Сначала выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь: $$ \frac{4}{9} : \frac{3}{16} = \frac{4}{9} \cdot \frac{16}{3} = \frac{4 \cdot 16}{9 \cdot 3} = \frac{64}{27} $$ Теперь выполним вычитание: $$ \frac{11}{18} - \frac{64}{27} $$ Общий знаменатель для 18 и 27 — это 54. $$ \frac{11}{18} = \frac{11 \cdot 3}{18 \cdot 3} = \frac{33}{54} $$ $$ \frac{64}{27} = \frac{64 \cdot 2}{27 \cdot 2} = \frac{128}{54} $$ Вычитаем: $$ \frac{33}{54} - \frac{128}{54} = \frac{33 - 128}{54} = \frac{-95}{54} $$ **Ответ: $-\frac{95}{54}$** 4. Вычислите: $\frac{30}{29} - \frac{18}{5} : \frac{25}{6}$ Сначала выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь: $$ \frac{18}{5} : \frac{25}{6} = \frac{18}{5} \cdot \frac{6}{25} = \frac{18 \cdot 6}{5 \cdot 25} = \frac{108}{125} $$ Теперь выполним вычитание: $$ \frac{30}{29} - \frac{108}{125} $$ Общий знаменатель для 29 и 125 — это $29 \cdot 125 = 3625$. $$ \frac{30}{29} = \frac{30 \cdot 125}{29 \cdot 125} = \frac{3750}{3625} $$ $$ \frac{108}{125} = \frac{108 \cdot 29}{125 \cdot 29} = \frac{3132}{3625} $$ Вычитаем: $$ \frac{3750}{3625} - \frac{3132}{3625} = \frac{3750 - 3132}{3625} = \frac{618}{3625} $$ **Ответ: $\frac{618}{3625}$** 5. Вычислите: $\frac{8}{5} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{11}{8}\right)$. Ответ дайте в виде неправильной дроби. Сначала выполним сложение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 8 — это 8. $$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8} $$ Складываем: $$ \frac{6}{8} + \frac{11}{8} = \frac{6 + 11}{8} = \frac{17}{8} $$ Теперь умножим результат на $\frac{8}{5}$: $$ \frac{8}{5} \cdot \frac{17}{8} = \frac{8 \cdot 17}{5 \cdot 8} $$ Сокращаем: $$ \frac{1 \cdot 17}{5 \cdot 1} = \frac{17}{5} $$ **Ответ: $\frac{17}{5}$** 6. Вычислите: $\frac{18}{7} \cdot \left(\frac{4}{9} + \frac{15}{18}\right)$. Сначала выполним сложение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 9 и 18 — это 18. $$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{8}{18} $$ Складываем: $$ \frac{8}{18} + \frac{15}{18} = \frac{8 + 15}{18} = \frac{23}{18} $$ Теперь умножим результат на $\frac{18}{7}$: $$ \frac{18}{7} \cdot \frac{23}{18} = \frac{18 \cdot 23}{7 \cdot 18} $$ Сокращаем: $$ \frac{1 \cdot 23}{7 \cdot 1} = \frac{23}{7} $$ **Ответ: $\frac{23}{7}$** 7. Вычислите: $\frac{8}{5} \cdot \frac{3}{4} + \frac{11}{8}$ Сначала выполним умножение: $$ \frac{8}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 1} = \frac{6}{5} $$ Теперь выполним сложение: $$ \frac{6}{5} + \frac{11}{8} $$ Общий знаменатель для 5 и 8 — это 40. $$ \frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{48}{40} $$ $$ \frac{11}{8} = \frac{11 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{55}{40} $$ Складываем: $$ \frac{48}{40} + \frac{55}{40} = \frac{48 + 55}{40} = \frac{103}{40} $$ **Ответ: $\frac{103}{40}$** 8. Вычислите: $\frac{18}{7} \cdot \frac{4}{9} + \frac{15}{14}$ Сначала выполним умножение: $$ \frac{18}{7} \cdot \frac{4}{9} = \frac{18 \cdot 4}{7 \cdot 9} = \frac{2 \cdot 4}{7 \cdot 1} = \frac{8}{7} $$ Теперь выполним сложение: $$ \frac{8}{7} + \frac{15}{14} $$ Общий знаменатель для 7 и 14 — это 14. $$ \frac{8}{7} = \frac{8 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{16}{14} $$ Складываем: $$ \frac{16}{14} + \frac{15}{14} = \frac{16 + 15}{14} = \frac{31}{14} $$ **Ответ: $\frac{31}{14}$** 9. Вычислите: $15 \cdot \left(1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right)$ Сначала выполним действия в скобках. Приведем все числа к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 5 — это 15. $$ 1 = \frac{15}{15} $$ $$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15} $$ $$ \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15} $$ Выполним сложение и вычитание: $$ \frac{15}{15} + \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{15 + 5 - 3}{15} = \frac{17}{15} $$ Теперь умножим результат на 15: $$ 15 \cdot \frac{17}{15} = \frac{15 \cdot 17}{15} $$ Сокращаем: $$ 17 $$ **Ответ: 17** 10. Вычислите: $72 \cdot \left(\frac{19}{24} - \frac{7}{12} + \frac{3}{8}\right)$ Сначала выполним действия в скобках. Приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 24, 12 и 8 — это 24. $$ \frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24} $$ $$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} $$ Выполним вычитание и сложение: $$ \frac{19}{24} - \frac{14}{24} + \frac{9}{24} = \frac{19 - 14 + 9}{24} = \frac{5 + 9}{24} = \frac{14}{24} $$ Сокращаем дробь: $$ \frac{14}{24} = \frac{7}{12} $$ Теперь умножим результат на 72: $$ 72 \cdot \frac{7}{12} = \frac{72 \cdot 7}{12} $$ Сокращаем 72 и 12: $$ 6 \cdot 7 = 42 $$ **Ответ: 42** 11. Вычислите: $\frac{72}{73} \cdot \frac{34}{65} + \frac{72}{73} \cdot \frac{39}{65}$ Заметим, что здесь есть общий множитель $\frac{72}{73}$. Вынесем его за скобки: $$ \frac{72}{73} \cdot \left(\frac{34}{65} + \frac{39}{65}\right) $$ Выполним сложение в скобках: $$ \frac{34}{65} + \frac{39}{65} = \frac{34 + 39}{65} = \frac{73}{65} $$ Теперь умножим: $$ \frac{72}{73} \cdot \frac{73}{65} = \frac{72 \cdot 73}{73 \cdot 65} $$ Сокращаем 73: $$ \frac{72}{65} $$ **Ответ: $\frac{72}{65}$** 12. Вычислите: $\frac{107}{89} \cdot \frac{64}{70} + \frac{107}{89} \cdot \frac{25}{70}$ Заметим, что здесь есть общий множитель $\frac{107}{89}$. Вынесем его за скобки: $$ \frac{107}{89} \cdot \left(\frac{64}{70} + \frac{25}{70}\right) $$ Выполним сложение в скобках: $$ \frac{64}{70} + \frac{25}{70} = \frac{64 + 25}{70} = \frac{89}{70} $$ Теперь умножим: $$ \frac{107}{89} \cdot \frac{89}{70} = \frac{107 \cdot 89}{89 \cdot 70} $$ Сокращаем 89: $$ \frac{107}{70} $$ **Ответ: $\frac{107}{70}$** 13. Вычислите: $\frac{45}{46} \cdot \frac{49}{51} - \frac{45}{46} \cdot \frac{3}{51}$ Заметим, что здесь есть общий множитель $\frac{45}{46}$. Вынесем его за скобки: $$ \frac{45}{46} \cdot \left(\frac{49}{51} - \frac{3}{51}\right) $$ Выполним вычитание в скобках: $$ \frac{49}{51} - \frac{3}{51} = \frac{49 - 3}{51} = \frac{46}{51} $$ Теперь умножим: $$ \frac{45}{46} \cdot \frac{46}{51} = \frac{45 \cdot 46}{46 \cdot 51} $$ Сокращаем 46: $$ \frac{45}{51} $$ Сократим дробь на 3: $$ \frac{45 : 3}{51 : 3} = \frac{15}{17} $$ **Ответ: $\frac{15}{17}$**