1. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найди радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Пусть данный равнобедренный треугольник будет $ABC$, где $AB = BC = 13$ см, а $AC = 10$ см. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. Из прямоугольного треугольника $BHC$ (или $BHA$) по теореме Пифагора найдем высоту $BH$: $$BH^2 + HC^2 = BC^2$$ $$BH^2 + 5^2 = 13^2$$ $$BH^2 + 25 = 169$$ $$BH^2 = 169 - 25$$ $$BH^2 = 144$$ $$BH = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$ Теперь найдем площадь треугольника $ABC$. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 5 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2$$ Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин всех его сторон: $$P = AB + BC + AC = 13 + 13 + 10 = 36 \text{ см}$$ Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле: $$r = \frac{2S}{P}$$ Подставим найденные значения: $$r = \frac{2 \cdot 60}{36} = \frac{120}{36}$$ Сократим дробь: $$r = \frac{120}{36} = \frac{10 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \text{ см}$$ **Ответ:** $3\frac{1}{3}$ см 2. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении $12:5$, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см. Пусть равнобедренный треугольник будет $ABC$, $AB = BC = 60$ см. Пусть $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$. Пусть $O$ — центр вписанной окружности. Точка $O$ делит высоту $BH$ в отношении $12:5$, считая от вершины $B$. То есть $BO : OH = 12 : 5$. Обозначим $OH = r$, так как $OH$ — это радиус вписанной окружности, перпендикулярный основанию. Тогда $BO = 12k$ и $OH = 5k$ для некоторого $k$. Следовательно, радиус вписанной окружности $r = 5k$. Высота $BH = BO + OH = 12k + 5k = 17k$. Мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. $BH$ является высотой и биссектрисой угла $B$. В треугольнике $ABH$, $AO$ — биссектриса угла $A$. По свойству биссектрисы, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В треугольнике $ABH$, биссектриса $AO$ делит сторону $BH$ в отношении $BO:OH = AB:AH$. Но это неверно, $AO$ делит $BH$ в отношении $AB:AH$ только если $AO$ биссектриса. В нашем случае $AO$ биссектриса угла $A$. Правильное применение свойства биссектрисы в треугольнике $ABH$ для биссектрисы $AO$: $BO/OH = AB/AH$. Это неверно. Правильно: в треугольнике $ABH$, биссектриса $AO$ угла $BAH$ делит сторону $BH$ в отношении $AB:AH$. Но $BH$ это не сторона, которая делится биссектрисой угла $A$. Верно следующее: в $\triangle ABH$, $AO$ — биссектриса угла $BAH$. Тогда по свойству биссектрисы угла треугольника, $BO/OH = AB/AH$ неверно. $AO$ делит $BH$ в отношении $AB:AH$ неверно. Воспользуемся свойством: радиус вписанной окружности $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр. Также, в прямоугольном треугольнике $BHC$, $BC = 60$ см. $BH = 17k$, $OH = r = 5k$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Пусть $HC = x$. Тогда основание $AC = 2x$. Боковая сторона $BC = 60$. По теореме Пифагора для $\triangle BHC$: $BH^2 + HC^2 = BC^2$. $(17k)^2 + x^2 = 60^2$ $289k^2 + x^2 = 3600$ (1) Также у нас есть свойство: $OH = r$. В прямоугольном треугольнике $BHC$, тангенс половины угла $B$ (обозначим $\angle CBH = \beta$) можно выразить как $\tan \beta = HC/BH = x/(17k)$. Также, радиус вписанной окружности $r$ связан с площадью и полупериметром $S = pr$. И $S = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} (2x) (17k) = 17kx$. Полупериметр $p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{60 + 60 + 2x}{2} = \frac{120 + 2x}{2} = 60 + x$. Значит, $r = \frac{17kx}{60+x}$. Мы знаем, что $r = 5k$. Подставим: $5k = \frac{17kx}{60+x}$ Так как $k \neq 0$ (иначе не было бы треугольника), мы можем разделить обе части на $k$: $5 = \frac{17x}{60+x}$ $5(60+x) = 17x$ $300 + 5x = 17x$ $300 = 17x - 5x$ $300 = 12x$ $x = \frac{300}{12}$ $x = 25$ см Теперь, когда мы нашли $x$, мы можем найти основание $AC = 2x = 2 \cdot 25 = 50$ см. Проверим $k$. Из уравнения (1): $289k^2 + x^2 = 3600$ $289k^2 + 25^2 = 3600$ $289k^2 + 625 = 3600$ $289k^2 = 3600 - 625$ $289k^2 = 2975$ $k^2 = \frac{2975}{289} \approx 10.29$ $k = \sqrt{\frac{2975}{289}} = \frac{\sqrt{2975}}{17}$ Это не обязательно было находить $k$, так как основание $AC$ уже найдено. **Ответ:** $50$ см