Найди меньшую высоту треугольника со сторонами: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15 см, 13 см, 14 см.

Для нахождения меньшей высоты треугольника сначала найдём площадь треугольника по формуле Герона, а затем, зная площадь и стороны, найдём высоты. ### Задание а) Даны стороны треугольника: $a = 24$ см, $b = 25$ см, $c = 7$ см. 1. **Найдём полупериметр $p$:** $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{24 + 25 + 7}{2} = \frac{56}{2} = 28 \text{ см}$$ 2. **Найдём площадь $S$ по формуле Герона:** $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ $$S = \sqrt{28(28-24)(28-25)(28-7)}$$ $$S = \sqrt{28 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 21}$$ $$S = \sqrt{(4 \cdot 7) \cdot 4 \cdot 3 \cdot (3 \cdot 7)}$$ $$S = \sqrt{4^2 \cdot 7^2 \cdot 3^2}$$ $$S = 4 \cdot 7 \cdot 3 = 84 \text{ см}^2$$ 3. **Найдём высоты:** Площадь треугольника также равна $S = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона} \cdot \text{высота}$. Отсюда высота $h = \frac{2S}{\text{сторона}}$. Высота к стороне $a = 24$ см: $$h_a = \frac{2 \cdot 84}{24} = \frac{168}{24} = 7 \text{ см}$$ Высота к стороне $b = 25$ см: $$h_b = \frac{2 \cdot 84}{25} = \frac{168}{25} = 6.72 \text{ см}$$ Высота к стороне $c = 7$ см: $$h_c = \frac{2 \cdot 84}{7} = \frac{168}{7} = 24 \text{ см}$$ Меньшая высота соответствует большей стороне. Проверим, какой из сторон соответствует наименьшая высота. Наименьшая из высот: $h_b = 6.72$ см. **Ответ:** Наименьшая высота треугольника равна $6.72$ см. ### Задание б) **Допущение:** В тексте задания не указаны стороны для пункта (б). Предполагается, что нужно использовать данные из пункта (а) или отсутствует часть задания. Если стороны 13 см, 14 см, 15 см: 1. **Найдём полупериметр $p$:** $$p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ см}$$ 2. **Найдём площадь $S$ по формуле Герона:** $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ $$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$$ $$S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$$ $$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)}$$ $$S = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$$ $$S = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84 \text{ см}^2$$ 3. **Найдём высоты:** Высота к стороне $a = 13$ см: $$h_a = \frac{2 \cdot 84}{13} = \frac{168}{13} \approx 12.92 \text{ см}$$ Высота к стороне $b = 14$ см: $$h_b = \frac{2 \cdot 84}{14} = \frac{168}{14} = 12 \text{ см}$$ Высота к стороне $c = 15$ см: $$h_c = \frac{2 \cdot 84}{15} = \frac{168}{15} = 11.2 \text{ см}$$ Наименьшая из высот: $h_c = 11.2$ см. **Ответ:** Наименьшая высота треугольника равна $11.2$ см.