Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку М:

Для нахождения первообразной $F(x)$ функции $f(x)$ воспользуемся формулой $F(x) = \int f(x) dx + C$. После интегрирования найдем константу $C$, подставив координаты точки $M(x_0; y_0)$ в уравнение $F(x_0) = y_0$. 1) $f(x) = 2x + 3, M(1; 2)$ $F(x) = \int (2x + 3) dx = x^2 + 3x + C$ $F(1) = 1^2 + 3(1) + C = 2 \Rightarrow 4 + C = 2 \Rightarrow C = -2$ Ответ: $F(x) = x^2 + 3x - 2$ 2) $f(x) = 4x - 1, M(-1; 3)$ $F(x) = \int (4x - 1) dx = 2x^2 - x + C$ $F(-1) = 2(-1)^2 - (-1) + C = 3 \Rightarrow 2 + 1 + C = 3 \Rightarrow 3 + C = 3 \Rightarrow C = 0$ Ответ: $F(x) = 2x^2 - x$ 3) $f(x) = \sin 2x, M(\frac{\pi}{2}; 5)$ $F(x) = \int \sin 2x dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$ $F(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}\cos(\pi) + C = 5 \Rightarrow -\frac{1}{2}(-1) + C = 5 \Rightarrow \frac{1}{2} + C = 5 \Rightarrow C = 4,5$ Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x + 4,5$ 4) $f(x) = \cos 3x, M(0; 0)$ $F(x) = \int \cos 3x dx = \frac{1}{3}\sin 3x + C$ $F(0) = \frac{1}{3}\sin(0) + C = 0 \Rightarrow 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0$ Ответ: $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x$