Реши задачи по геометрии из списка: в прямоугольном треугольнике найди катет, в трапеции - угол, в треугольнике - угол, зная биссектрису, в треугольнике найди AB, зная угол С и sin A, найди медиану BM, определи высоту, зная стороны, найди длину катета, зная площадь, найди сторону равностороннего треугольника, зная высоту, найди sin B, зная угол С, найди внешний угол, найди медиану равностороннего треугольника, найди AH, зная медиану BM и высоту BH, найди sin ABC, зная AC и высоту CH, найди длину боковой стороны, зная площадь и угол.

Решаю задачи по геометрии из твоего списка. Постараюсь объяснить понятно! 1. В прямоугольном треугольнике известны катет (20) и гипотенуза (25). Надо найти другой катет. По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ – гипотенуза. Значит, $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15$. **Ответ: 15** 2. В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 14^\circ$ и $\angle BDC = 106^\circ$. Нужно найти $\angle ABD$. Т.к. $AB = CD$, трапеция равнобедренная, значит, $\angle BAC = \angle BDA = 14^\circ$. $\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 14^\circ + 106^\circ = 120^\circ$. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, следовательно, $\angle ABC = \angle ADC = 120^\circ$. Тогда $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 120^\circ - 106^\circ = 14^\circ$. **Ответ: 14°** 3. В треугольнике $ABC$ $AC = BC$. Внешний угол при вершине $B$ равен $140^\circ$. Найдите угол $C$. Т.к. внешний угол при вершине $B$ равен $140^\circ$, то внутренний угол $\angle ABC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$. Поскольку $AC = BC$, треугольник равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC = 40^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, значит, $\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$. **Ответ: 100°** 4. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, $\angle ALC = 62^\circ$, $\angle ABC = 47^\circ$. Найдите $\angle ACB$. В треугольнике $ALC$ $\angle LAC = 180^\circ - \angle ALC - \angle ACL$. $\angle ACL$ это и есть искомый угол. В треугольнике $ABC$ $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$. Так как $AL$ - биссектриса, то $\angle BAC = 2 * \angle LAC$. Подставим известные значения: $2 * (180^\circ - 62^\circ - \angle ACB) + 47^\circ + \angle ACB = 180^\circ$ $360^\circ - 124^\circ - 2 * \angle ACB + 47^\circ + \angle ACB = 180^\circ$ $283^\circ - \angle ACB = 180^\circ$ $\angle ACB = 283^\circ - 180^\circ = 103^\circ$ **Ответ: 103°** 5. В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $BC = 9$, $\sin A = 0.3$. Найдите $AB$. В прямоугольном треугольнике синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB): $\sin A = \frac{BC}{AB}$. $AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{9}{0.3} = 30$. **Ответ: 30** 6. В треугольнике $ABC$ $AB = BC = 50$, $AC = 96$. Найдите длину медианы $BM$. Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, также является высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} * 96 = 48$. По теореме Пифагора: $BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{50^2 - 48^2} = \sqrt{2500 - 2304} = \sqrt{196} = 14$. **Ответ: 14** 7. У треугольника со сторонами 12 и 3 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне? Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения основания на высоту. Значит, $S = \frac{1}{2} * a * h_a = \frac{1}{2} * b * h_b$, где $a$ и $b$ — стороны, а $h_a$ и $h_b$ — соответствующие высоты. $12 * 1 = 3 * h_b$, $h_b = \frac{12}{3} = 4$. **Ответ: 4** 8. Площадь прямоугольного треугольника равна $242\sqrt{3}$. Один из острых углов равен $30^\circ$. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла. Пусть $a$ и $b$ - катеты, причем угол напротив катета $a$ равен $30^\circ$. Тогда $a = b * tg(30^\circ) = \frac{b}{\sqrt{3}}$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} * a * b = \frac{1}{2} * \frac{b}{\sqrt{3}} * b = \frac{b^2}{2\sqrt{3}} = 242\sqrt{3}$. Отсюда $b^2 = 242\sqrt{3} * 2\sqrt{3} = 242 * 2 * 3 = 1452$, $b = \sqrt{1452} = 2\sqrt{363} = 22\sqrt{3}$. Тогда $a = \frac{22\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 22$. **Ответ: 22** 9. Высота равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника. В равностороннем треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой. Она делит треугольник на два прямоугольных, с углами $30^\circ$ и $60^\circ$. Высота прилегает к углу $30^\circ$. Отношение высоты к половине стороны равно $ctg(30^\circ) = \sqrt{3}$. Значит, половина стороны равна $\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$, а вся сторона равна $12 * 2 = 24$. **Ответ: 24** 10. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 6$, $AB = 10$. Найдите $\sin B$. $\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = 0.6$. **Ответ: 0.6** 11. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $133^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Внешний угол равен $180^\circ - 133^\circ = 47^\circ$. **Ответ: 47°** 12. Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите медиану этого треугольника. В равностороннем треугольнике медиана является и высотой. $h = a * \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3} * \frac{\sqrt{3}}{2} = 14 * \frac{3}{2} = 21$. **Ответ: 21** 13. В треугольнике $ABC$ проведены медиана $BM$ и высота $BH$. Известно, что $AC = 79$ и $BC = BM$. Найдите $AH$. **Допущение:** $BC = BM = AM = MC$. Тогда $AC = AM + MC = 2BM = 79$, $BM = \frac{79}{2}$. Так как $BM$ медиана и высота, то треугольник $ABC$ равнобедренный, $AB = BC = \frac{79}{2}$. $AH = \frac{1}{2}AC = \frac{79}{2} = 39,5$. **Ответ: 39,5** 14. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC = 65$, а высота $CH$, опущенная на гипотенузу, равна 52. Найдите $\sin \angle ABC$. Площадь треугольника можно вычислить двумя способами: $S = \frac{1}{2} * AC * BC = \frac{1}{2} * AB * CH$. Отсюда $AC * BC = AB * CH$. $\sin \angle ABC = \frac{AC}{AB}$. Тогда $65 * BC = AB * 52$, $AB = \frac{65 * BC}{52}$. $\sin \angle ABC = \frac{65}{\frac{65 * BC}{52}} = \frac{65 * 52}{65 * BC} = \frac{52}{BC}$. **Недостаточно данных для решения.** Нужна длина $BC$. 15. Площадь равнобедренного треугольника равна $196\sqrt{3}$. Угол, лежащий напротив основания, равен $120^\circ$. Найдите длину боковой стороны. Пусть $a$ - боковая сторона. Тогда площадь $S = \frac{1}{2} * a^2 * \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} * a^2 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 196\sqrt{3}$. Отсюда $a^2 = \frac{196\sqrt{3} * 4}{\sqrt{3}} = 196 * 4$, $a = \sqrt{196 * 4} = 14 * 2 = 28$. **Ответ: 28**