Реши задачи по геометрии про касательные к окружности.

1) Прямая АВ касается окружности, значит, радиус ОА перпендикулярен АВ. Получается прямоугольный треугольник AOB, где ОА = 5 см (радиус), ОВ = 13 см. По теореме Пифагора: $AB = \sqrt{OB^2 - OA^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. **Ответ: 12 см** 2) Пусть AB касается окружности в точке M, BC - в точке K, AC - в точке P. Тогда BM = 5 см, PC = 7 см. Так как касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, то: BM = BK = 5 см PC = CK = 7 см Пусть AM = AP = x. Тогда AB = AM + MB = x + 5, BC = BK + KC = 5 + 7 = 12, AC = AP + PC = x + 7. Периметр треугольника ABC равен AB + BC + AC = (x + 5) + 12 + (x + 7) = 32 2x + 24 = 32 2x = 8 x = 4 AC = x + 7 = 4 + 7 = 11 см **Ответ: 11 см** 3) Так как AB и BC - касательные к окружности с центром O, то углы OBA и OBC прямые. Сумма углов четырёхугольника ABCO равна 360 градусов. Угол ABC равен 60 градусов (дано). Значит, угол AOC = 360 - 90 - 90 - 60 = 120 градусов. Рассмотрим треугольники ABO и CBO: BO - общая, углы OBA и OBC прямые, AO = OC = 6 см (радиусы). Следовательно, треугольники равны по двум катетам. Тогда AB = BC. Рассмотрим треугольник ABC: AB = BC, угол ABC = 60 градусов, значит, углы BAC и BCA тоже равны 60 градусов, то есть треугольник ABC - равносторонний. Тогда AB = BC = AC. В равностороннем треугольнике ABC высота является и биссектрисой, и медианой. Значит, угол ABO = 30 градусов. В прямоугольном треугольнике ABO катет AO = 6 см, угол ABO = 30 градусов. Тогда $AB = AO * ctg(30) = 6 * \sqrt{3}$ см. Периметр четырёхугольника ABCO равен $AB + BC + CO + OA = 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + 6 + 6 = 12\sqrt{3} + 12 = 12(\sqrt{3} + 1)$ см **Ответ: $12(\sqrt{3} + 1)$ см** 4) Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30 градусов. Значит, угол CAB = 30 градусов. Так как CE - касательная, то угол OEC прямой (90 градусов). Угол между радиусом и касательной, проведённой в точку касания, равен 90 градусов. В треугольнике AOC AO = OC (радиусы), значит, треугольник равнобедренный. Угол CAO = 30 градусов, значит, угол ACO = 30 градусов. Тогда угол AOB = 180 - 30 - 30 = 120 градусов. Угол OCE = 90 градусов. Угол ACO = 30 градусов. Значит, угол ACE = 90 - 30 = 60 градусов. В треугольнике ACE угол CAE = 30 градусов, угол ACE = 60 градусов, значит, угол AEC = 90 градусов. Тогда треугольник ACE - прямоугольный с прямым углом E. $AE = AC * cos(30) = AC * \frac{\sqrt{3}}{2}$ $CE = AC * sin(30) = AC * \frac{1}{2}$ Или CE = AE * tg(30) Рассмотрим треугольник AOC: углы OAC и OCA равны 30 градусов, значит, угол AOC = 120 градусов. Тогда AC = 2 * R * sin(AOC/2) = 2 * 6 * sin(60) = 12 * $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $6\sqrt{3}$ см. Тогда CE = $6\sqrt{3}$ * $\frac{1}{2}$ = $3\sqrt{3}$ см. **Ответ: $3\sqrt{3}$ см** 5) Так как AB и BC - отрезки касательных, проведённых из точки B к окружности с центром O, то углы OBA и OBC прямые (90 градусов). Рассмотрим треугольники ABO и CBO: BO - общая, углы OBA и OBC прямые, AO = OC (радиусы). Следовательно, треугольники равны по двум катетам. В треугольнике ABO угол OBA прямой, AO = 5, OB = 10. Тогда $sin(AOB) = \frac{AB}{OB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Значит, угол AOB = 30 градусов. Так как треугольники ABO и CBO равны, то угол COB = углу AOB = 30 градусов. Тогда угол AOC = угол AOB + угол COB = 30 + 30 = 60 градусов. **Ответ: 60 градусов**