Для решения этой задачи нужно рассмотреть все варианты, сколько домашних заданий ученик решил сам, и найти тот вариант, при котором итоговый средний балл $S$ будет максимальным.
* $K_t$ — уровень знаний перед $t$-м заданием (t = 1, ..., 10).
* Если ученик сам решает задание $t$, то его уровень знаний повышается на один, иначе уровень знаний не повышается, $K_1 = 0$.
* Оценка за $t$-е домашнее задание считается так: если решено честно, то $H_t = 1.5 + 0.3K_t$; если домашнее задание списано, то $H_t = 4.5$.
* Оценка за контрольную работу зависит только от знаний после последнего домашнего задания $K_{11}$: $E = \min(1 + 0.5K_{11}, 5)$.
* Итоговый средний балл: $S = 0.4 \cdot \frac{H_1 + H_2 + ... + H_{10}}{10} + 0.6 \cdot E$.
Рассмотрим все возможные случаи:
1. Все 10 заданий списаны. Тогда $K_{11} = 0$, $E = \min(1 + 0.5 \cdot 0, 5) = 1$, $H_i = 4.5$ для всех $i$, и $S = 0.4 \cdot \frac{10 \cdot 4.5}{10} + 0.6 \cdot 1 = 0.4 \cdot 4.5 + 0.6 = 1.8 + 0.6 = 2.4$.
2. Все 10 заданий решены самостоятельно. Тогда $K_{11} = 10$, $E = \min(1 + 0.5 \cdot 10, 5) = \min(6, 5) = 5$. $H_i = 1.5 + 0.3K_i$, где $K_i = i - 1$. Тогда
$S = 0.4 \cdot \frac{\sum_{i=1}^{10} (1.5 + 0.3(i-1))}{10} + 0.6 \cdot 5 = 0.4 \cdot \frac{10 \cdot 1.5 + 0.3 \cdot \sum_{i=0}^{9} i}{10} + 3 = 0.4 \cdot (1.5 + 0.03 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2}) + 3 = 0.4 \cdot (1.5 + 0.03 \cdot 45) + 3 = 0.4 \cdot (1.5 + 1.35) + 3 = 0.4 \cdot 2.85 + 3 = 1.14 + 3 = 4.14$.
Теперь рассмотрим случай, когда ученик решил $n$ заданий самостоятельно, а остальные списал. Тогда $K_{11} = n$, $E = \min(1 + 0.5n, 5)$. Первые $n$ заданий имеют оценку $H_i = 1.5 + 0.3(i-1)$, а остальные $10-n$ заданий имеют оценку $H_i = 4.5$.
$S = 0.4 \cdot \frac{\sum_{i=1}^{n} (1.5 + 0.3(i-1)) + (10-n) \cdot 4.5}{10} + 0.6 \cdot E = 0.4 \cdot \frac{n \cdot 1.5 + 0.3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + (10-n) \cdot 4.5}{10} + 0.6 \cdot E$.
Нужно проверить значения $n$ от 0 до 10 и выбрать то, при котором $S$ максимально. Переберём несколько значений $n$.
* $n = 7$: $K_{11} = 7$, $E = \min(1 + 0.5 \cdot 7, 5) = \min(4.5, 5) = 4.5$.
$S = 0.4 \cdot \frac{7 \cdot 1.5 + 0.3 \cdot \frac{6 \cdot 7}{2} + 3 \cdot 4.5}{10} + 0.6 \cdot 4.5 = 0.4 \cdot \frac{10.5 + 0.3 \cdot 21 + 13.5}{10} + 2.7 = 0.4 \cdot \frac{10.5 + 6.3 + 13.5}{10} + 2.7 = 0.4 \cdot \frac{30.3}{10} + 2.7 = 0.4 \cdot 3.03 + 2.7 = 1.212 + 2.7 = 3.912$.
* $n = 8$: $K_{11} = 8$, $E = \min(1 + 0.5 \cdot 8, 5) = \min(5, 5) = 5$.
$S = 0.4 \cdot \frac{8 \cdot 1.5 + 0.3 \cdot \frac{7 \cdot 8}{2} + 2 \cdot 4.5}{10} + 0.6 \cdot 5 = 0.4 \cdot \frac{12 + 0.3 \cdot 28 + 9}{10} + 3 = 0.4 \cdot \frac{12 + 8.4 + 9}{10} + 3 = 0.4 \cdot \frac{29.4}{10} + 3 = 0.4 \cdot 2.94 + 3 = 1.176 + 3 = 4.176$.
* $n = 9$: $K_{11} = 9$, $E = \min(1 + 0.5 \cdot 9, 5) = \min(5.5, 5) = 5$.
$S = 0.4 \cdot \frac{9 \cdot 1.5 + 0.3 \cdot \frac{8 \cdot 9}{2} + 1 \cdot 4.5}{10} + 0.6 \cdot 5 = 0.4 \cdot \frac{13.5 + 0.3 \cdot 36 + 4.5}{10} + 3 = 0.4 \cdot \frac{13.5 + 10.8 + 4.5}{10} + 3 = 0.4 \cdot \frac{28.8}{10} + 3 = 0.4 \cdot 2.88 + 3 = 1.152 + 3 = 4.152$.
**Ответ: 4.176**
