Найди площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x³, y = 2x-x² и осью Ox.

Привет! Чтобы решить задачу, нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^3$ и $y = 2x - x^2$, а также осью $Ox$. 1. **Находим точки пересечения графиков:** Сначала найдем точки пересечения графиков $y = x^3$ и $y = 2x - x^2$. Для этого приравняем их: $$x^3 = 2x - x^2$$ $$x^3 + x^2 - 2x = 0$$ $$x(x^2 + x - 2) = 0$$ $$x(x+2)(x-1) = 0$$ Отсюда находим корни: $x = 0$, $x = -2$, $x = 1$. 2. **Определяем интервалы интегрирования:** Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиками на интервалах, где функции пересекаются и где они выше или ниже друг друга. - На интервале $[-2; 0]$ функция $y = x^3$ находится ниже $y = 2x - x^2$. - На интервале $[0; 1]$ функция $y = x^3$ находится ниже $y = 2x - x^2$. 3. **Вычисляем площадь:** Площадь фигуры можно найти как сумму интегралов: $$S = \int_{-2}^{0} (2x - x^2 - x^3) dx + \int_{0}^{1} (2x - x^2 - x^3) dx$$ Вычислим первый интеграл: $$\int_{-2}^{0} (2x - x^2 - x^3) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_{-2}^{0} = (0) - (4 + \frac{8}{3} - 4) = -\frac{8}{3}$$ Так как площадь не может быть отрицательной, берем модуль: $|-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3}$. Вычислим второй интеграл: $$\int_{0}^{1} (2x - x^2 - x^3) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}) - (0) = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{12 - 4 - 3}{12} = \frac{5}{12}$$ 4. **Суммируем площади:** Суммарная площадь: $$S = \frac{8}{3} + \frac{5}{12} = \frac{32 + 5}{12} = \frac{37}{12}$$ **Ответ:** Площадь фигуры равна $\frac{37}{12}$.